反彈琵琶為哪般

郝高峰 白翠霞 郭榮

［摘? 要］ 除法豎式從高位除起已成為一種標準化、程式化的操作，從高位除起是求簡的人性使然，并非數學內在的邏輯要求。在教學中進行“從低位除起”的嘗試和討論，一定程度上有利于學生打破思維定式，理解除法豎式以及除法運算的本質，為培養學生的批判質疑精神創造契機。

［關鍵詞］ 除法豎式；雙向可行；低位除起；教學價值

一、引言

批判質疑能力作為學生“核心素養”的重要表現之一，歷來受到廣大的教師重視。在實際教學時，因為問題的答案幾近唯一、解決思路趨于固化以及應試教育功利性等原因，致使小學數學課堂教學常常表現出標準化、程式化的傾向。比如，在教學“筆算除法”時教師強調從高位除起，很少有學生思考為何如此。到四年級教學三位數除以兩位數筆算時，學生對此已達成“共識”，教師不提學生不問，一切都顯得理所當然。

隨著人工智能時代的到來，教育教學理應更加凸顯人的主體性和創造性，這一切應落實到課堂教學中。面對同一學習素材，教師要讓學生進行多元解讀、多角度思考，在對比中適時質疑，于反思中深度建構。即便面對看起來“理所當然”的事，教師也要引導學生時刻保持“三?。▁ǐng）”的態度。因此在學習了三位數除以兩位數筆算后，筆者便“推波助瀾”，讓學生嘗試從低位除起，開啟了一次“反彈琵琶”的嘗試。

二、可行性分析

1. 原理：豎式理應“雙向可行”

知識之間存在“相對意義的聯系”［１］，即概念之間往往存在“是”與“非”相互依存的現象。比如“左”和“右”相伴，“增加”和“減少”共存，“變化”與“不變”相生等。對于加法、減法和乘法豎式而言，一般規定從低位算起，也應該可以從高位算起；對于除法豎式，通常是從高位算起，也應該可以從低位算起，這就是“雙向可行”。比如加、減法，其計算的“原理性知識”是相同計數單位的數直接相加減，從低位算起還是從高位算起只是人為約定的“規則性知識”。乘法的本質是加法，除法的本質是減法，因此，乘法、除法也必然“雙向可行”。

縱觀豎式的演變史，人們可以找到加法、減法和乘法“雙向可行”的證據（圖1）。因為這些豎式倘若從高位算起，就可能面臨二次處理“進（退）位數”的麻煩，從而增加計算負擔，從低位算起則能有效規避這一問題。除法因其“余數”可能需要多次參與分配的實際，其豎式較為特殊，經過歷史演變成為現在通用的“長除”豎式（本文不討論其演變過程，僅以現行豎式規范為例），它也理應雙向可行（圖2）。從高位算起，可以讓每次減去的數盡量多，讓減的次數和余下的數盡量少，計算就會更加簡便。因此，從高位算起是人性使然，并非數學內在的邏輯要求［２］。

2. 學情：教材為何“高位除起”

源于“求簡”的人性，加法、減法和乘法豎式最終規范為從低位算起，除法豎式則從高位除起。在教學和生活中，不難發現有許多人不顧“規則”從高位開始計算加、減法，究其原因這符合人們從左往右的書寫和觀察習慣，這一習慣所帶來的便利此時明顯大于進退位所帶來的不便。從這個角度講，這是一種人性“求簡”的習慣，除法豎式從高位除起的“規則”順應了這一習慣。

現行教材在面對豎式教學時，都強調其規范性和程式化操作。以北師大版小學數學教材為例，整數除法的豎式教學安排在三個階段完成：

（1）二年級下冊基于“表內除法”初步規范豎式寫法，“表內除法”的豎式毫無優越性可言，主要是為后續學習做好鋪墊，探討從左往右算或從右往左算的價值不大。

（2）三年級下冊進一步學習“除數是一位數的除法（商是兩位數或三位數）”豎式，此時計算本身難度不大，學生對豎式充滿好奇，最適合對除法規則及數學內在邏輯進行探討。教材嚴守規則，旨在強化規則。

（3）四年級上冊學習“除數是兩位數的除法”，這一階段運算量增大，豎式的優越性盡顯。因為前面兩個階段對豎式規范化的滲透，所以教學難點不是豎式本身，而是在“試商”和“調商”上。學生對規則本身的探究欲望已被絕對性壓制，陷入機械執行階段。自此，除法豎式從高位算起的規則在學生心中扎下了根。與此同時，學生對其規則的探究欲望也被深埋——但從未消失。

3. 價值：“低位除起”帶來什么

豎式作為一種程式化、標準化的計算工具，在教學中極易落入“簡單模仿”的窠臼。在教師眼中，豎式不應該被簡單地當成一種工具，它應該是一項有獨特價值的教育資源。如果做一次從“低位除起”的嘗試，又會帶來什么呢？

（1）創造了一次喚醒學生批判意識的契機

學生批判意識的培養如何在小學課堂上落地一直都是一個重要課題：一方面小學生正處于行為習慣的關鍵培養期，需要“規范”；另一方面他們又處在批判意識養成的萌芽期，需要“適度的空間”。在實際教學中，教師往往“顧此失彼”。比如除法豎式的教學，從學生第一次接觸開始，為了避免其走彎路，教師一直強調規范格式，強調從“高位除起”的規則。如果“為什么除法一定要從高位算起”“除法可以從低位算起嗎”的種子被激活，學生就有可能經歷一次從除法豎式“只能從高位算起”到除法豎式理應“雙向可行”，再到還是“從高位算起簡單”的批判性學習過程。這樣可以讓學生積累批判思維的經驗，在遇到問題時不僅要思考“是什么”“為什么”，還要思考“一定是這樣嗎”“還可以怎么樣”等，時刻葆有質疑的熱情。

（2）開拓了一片探求數學內在邏輯的空間

數學學習不只是為了掌握方法，更重要的是探尋其背后的道理。除法豎式雖然表現為一種程式化操作，但是其背后所蘊含的數學的內在邏輯具有更大的育人價值。當學生嘗試從“低位除起”時，一定程度上打破了原有的程式，倒逼學生反觀除法豎式以及除法的本質：即不斷從被除數中減去若干個除數，以減輕腦力計算的負擔，把其中的關鍵步驟記錄下來。至于是從高位算起還是從低位算起，需要幾次“除盡”，這不是數學內在的邏輯要求。在與從“高位除起”的對比中，學生進一步體會到人們選擇“高位除起”的必然性——“求簡”的人性使然，甚至可以體會豎式“分層”的優越性，即“試商”“調商”的道理所在。為了讓每次減去的數盡可能多，剩下的就盡可能少，從而使減的次數盡可能少?？梢哉f，“低位除起”的嘗試一石激起千層浪，開拓出一片學生適度探索數學內在邏輯關系的空間。

（3）重構了一個提升學生學習興趣的場域

除法豎式“低位除起”的嘗試讓學生感受思維帶來的快樂，打破了以往豎式教學中簡單重復訓練、近乎枯燥的僵局，釋放并解答了隱藏在學生心中多年的“為什么一定要從高位除起”的疑惑，為學生重構了一個興趣盎然的學習場域。學生在這個場域中深度感受豎式的本質，重新認識豎式的規則。這個場域一經建立，就會吸附學生學習過程中生成的同質或類同質場域，從而形成一個更大的“群”。這個群達到一定程度就會產生強大的“內卷”功能，促使學生長時間保持對學習的興趣，感受學習帶來的愉悅感和成就感。

綜上，“低位除起”的思考，不是對除法豎式規則的打破和反叛，而是通過突圍和變通，完成對豎式規則的完善和升級?！胺磸椗谩钡膶嵺`不是嘩眾取寵，而是對數學理性思維的執著探尋。

三、教學嘗試

基于以上思考，筆者在教學北師大版四年級上冊“除法”單元時，對除法豎式能否從低位除起進行了教學嘗試。

1.質疑激趣：“除法豎式”呈現“雙向可行”

北師大版“除法”單元的“三位數除以兩位數的筆算”分為“買玩具”“參觀花圃”“秋游”等3個主題情境，分別對應“除數是整十數”“一次試商”“調商”3類筆算除法?！扒镉巍苯虒W后，筆者出示“試一試”的豎式（圖3），與學生交流了筆算除法的注意事項：“從高位除起”“除數是兩位數，先看被除數的前兩位”“試商”“調商”“檢驗”等，鼓勵學生勇于質疑，于是有了下面的教學片段。

片段1

師：同學們再看看三位數除以兩位數的豎式，回憶我們的學習過程，你們有什么問題在腦海中冒出來？

生1：我覺得有時候試商比較麻煩，特別是需要調商的時候。有沒有更好的方法？

生2：豎式計算時要從高位除起，這是為什么呢？

生3：是呀！能不能從低位除起呢？（學生嘩然）

師：同學們能對習以為常的“除法豎式”計算方式提出自己的質疑和反思，為你們點贊！“從低位除起”，多么奇妙的想法！我們來試試，愿意挑戰從低位除起的同學組成一隊，其余同學組成一隊。（學生躍躍欲試）

鑒于學生被激起的探究欲望，教師出示題目“396÷3”小試牛刀，結果兩隊學生幾乎同時完成（圖4）?！巴?，可以，可以！”贊嘆之聲在教室內此起彼伏。

教師請從低位除起的同學講了算法之后隨即提議：“有沒有人還想試試從低位除起的？”此時幾乎所有學生的積極性都被調動起來。

2.深度探究：“低位除起”經歷“柳暗花明”

教師請學生從低位除起試算“秋游”的“試一試”，有的人開始面露難色，有的人算到一半時無從下手。面對著“山重水復疑無路”的困境，反而激發了學生深度探究的欲望。

片段2

師：我們發現很多同學算到一半，開始猶豫不決。誰能來講講自己遇到了什么困難？（一生上臺，邊講邊板演）

生1：624除以13，除數是兩位數，我從后兩位除起，用24除以13，商1余11。11不夠除把6移下來，611除以13商40，所以在十位上寫4，這時還余91（如圖5）。然后用91除以13商7，可我猶豫7該寫在哪里呢？

生2：應該寫在個位上呀！

生1：我也知道，可個位上已經有1了嘛！

（生1有些為難，一些學生隨聲附和。）

生3：那就寫在1的上面，那里也是個位！

（生1雖有些猶豫，但還是嘗試在1上面寫了7）（如圖6）。

師：剛才大家的發言都非常有道理。生1在遇到困難時勇于思考、不放棄，終于在大家的幫助下把624分完了。那么624除以13到底等于多少呢？是41？還是7？

生（恍然大悟）：是它們的和?。ㄈ鐖D7）

師：通過剛才的交流，你們又有什么想法呢？

生4：我覺得從低位除起是可行的。這道題要求624里面有多少個13，我們可以先看13里面有1個13，再看520里面有40個13，最后算余下的91里面有7個13。用1+40+7就可以得到它的商是48了。

生5：我體會到除法豎式計算就是把被除數不斷地平均分。以前覺得商只能寫一行，其實寫幾行無所謂。我在同學的啟發下，列了這樣的豎式（如圖8）。

生6：我認為從低位除起確實可以，但是好像從高位除起更簡便些。

經過全班學生的共同努力，貌似無法進行的“低位除起”經歷了“柳暗花明”的探究過程。學生通過不斷嘗試、相互啟發、共同合作，再一次印證了除法豎式的“雙向可行”。享受到探索之后成功的喜悅，學生的興致被再一次激發，其數學素養在質疑探究中得到發展。教師趁機讓學生相互出題從“低位除起”進行試算，對比“高位除起”的經驗，進一步體會除法運算的本質。

3.交流提升：“低位除起”印證“高位除起”

學生經歷了“396÷3”的豎式“雙向可行”體驗、“624÷13”豎式的“低位除起”探究以及學生相互出題對比體悟“低位除起”和“高位除起”的一致性和獨特性之后，全班進行討論交流。

師：同學們，結合這節課的研究經歷，你們還有什么想和大家交流呢？

生1：我沒有想到除法豎式還可以從低位除起，腦洞大開呀！以后碰到事情一定要從多個角度去想一想。

生2：雖然可以從低位開始除，但是我發現有些題目從兩邊除難度差不多，大部分題目從高位除起要簡便很多！

師：看來，你有深刻的體驗。那么大家有沒有想過，為什么對于大多數題目而言從高位除起會簡便一些呢？

生3：我從低位除起的時候經常會碰到商不知道往哪里寫的現象，而且有時候眼看著都算到高位了，又出現返回到低位的現象。這樣來回反復，比較麻煩。

生4：沒錯！我也有同感。我覺得從高位除起的時候，每次分掉得比較多，這樣剩下的就比較少，每分一次剩的就少一些，越來越少，越來越好分。然而從低位除起恰恰相反，因為每次分的比較少，剩下的就比較多，再分的時候仍然很麻煩。

師：是呀！除法的本質是減法，除的過程實際就是不斷地從被除數中減去除數的過程。每次減去的越多，剩下的就越少，也就越好分了。

生5：我發現從低位除的時候經常要把幾次的商加起來才是最后的結果，而從高位除起時，因為一直按順序寫下來就少了相加的那一步。但我覺得如果有同學不能一次商到位，就像從低位除一樣，把商分幾層來寫，最后加起來也是可以的。

師：你們看到了除法豎式的本質！正是因為數太大了，不好口算，我們就把被除數分成若干個小份，然后通過若干次分完罷了。比如624÷13，從高位除起就相當于先算520÷13=40，再算余下的104÷13=8，所以商就是40+8=48；從低位除起相當于把624看作“13＋520+91”，分三次除以13，最終的商就是1+40+7=48。雖然兩種方法都可以，但顯然從高位除剩下的會迅速減少，還是方便很多！

生6：老師！我們這是在“反彈琵琶”！

師：沒錯！有時候“反彈琵琶”也未嘗不可。今天的“反彈琵琶”讓我們更好地認識了除法，也認清了除法豎式從高位除起的奧秘……

參考文獻：

［１］ 郜舒竹.筆算方法多樣性的歷史考察［Ｊ］. 課程·教材·教法，２０１６，３６（０１）：８８－９４.

［２］ 蔡宏圣. 當下整數豎式計算教學：數學史的視角［Ｊ］. 小學教學（數學版），２０２０（０５）：６３－６６.