大單元視域下的初中數學跨學科作業設計研究

鄭培珺 黃和悅

【摘要】為了學生能夠系統、有效地進行課后鞏固和提升，以初中數學“直角三角形的邊角關系”主題為例進行跨學科單元作業設計.從學生角度設置有層次的分組作業，從學科角度設計本學科大單元化和跨學科融合的作業.通過對單元知識結構、作業類型和核心素養水平的分析，提出初中數學跨學科作業設計六條建議：構建單元視域下結構化的作業任務群；注重因材施教理念下的變式改造分層設計；注重多學科融合的主題統整設計；注重知行結合學科問題生活化的項目式作業設計；注重設計因地制宜具有育人特色的作業題型.

【關鍵詞】單元統整；學科融合；素養立意；作業設計

“雙減”背景下提出作業設計要向減負、減時、減量、高效和優化管理轉變.2022年版的《義務教育課程方案》提出既要以結構化的思維方式統整學科知識，設計大單元作業，又要提高思維的層次性和問題的綜合性，兼顧跨學科融合 [1]，還要關注知行結合，設計具有實踐性的項目式活動作業[2].數學跨學科作業設計是把數學與其它學科所蘊含的知識、方法和思想等融會貫通，培養學生對綜合信息的分析、判斷和抉擇[3].本研究對北師大版九年級上冊“直角三角形的邊角關系”單元復習作業進行設計并提出建議.

1數學單元知識結構整體分析

三角學是幾何學的基礎.初等數學在歐幾里得幾何學范疇中研究三角形的邊角關系，它的研究路徑隨學段上升遵循由特殊到一般的規律（圖1）.初中探究的直角三角形邊角關系經歷了由一般到特殊的過程（圖2）；高中則研究更為一般的三角形邊角關系.

2跨學科單元作業設計思路

作業設計從學生角度和學科角度進行考慮.從學生角度基于學生間的差異性設計不同層次的作業.從學科角度考慮到本學科大單元知識、方法和思想體系的整合重組，設計大單元任務群 [4]；也考慮到跨學科大單元間的學科融合，遷移運用.另外，結合本地文化特色綜合呈現作業，在傳統文化下潛移默化地培養學生情感態度價值觀，實現學科育人的立德樹人目標.

2.1題目分層設計

基于學生個體間的差異設計A，B組層次不同的作業，教師可根據不同學生的學情選擇布置對應題組的作業.依據喻平教授對數學核心素養水平（圖3）和作業類型（圖4）的劃分[5]設計各層次的作業.為了便于分析，將喻平教授界定的數學核心素養三級水平由低到高分別記為“l1”“l2”“l3” [6].

2.2大單元作業設計

大單元視域強調主題統領和整體關聯，設計具有結構性的作業是高效鞏固、提升能力和素養的落腳點[7].作業設計站在跨學科大單元和本學科大單元兩個層面進行設計.

2.2.1跨學科大單元設計

跨學科作業設計是在同一主題下，打破學科界限把相關學科聯系起來，找到學科間的內在本質聯系，整合多科知識解決復雜問題.本作業設計以數學中“直角三角形的邊角關系”為主題，融合人文類學科、社會科學類學科、自然科學類學科的知識、觀點、方法等聚焦真實問題.各學科相互貫通，開闊學生視野，實現素養的全面發展.

2.2.2本學科大單元設計

聚焦“直角三角形的邊角關系”，梳理、整合直角三角形邊角的知識體系、思想體系和方法體系，精心設計單元作業任務群（圖5）.本單元要求理解銳角三角函數的定義，能夠發現實際問題中的邊角關系，建立數學模型并選擇適當的三角函數，綜合運用相關知識解直角三角形.

3跨學科單元作業題設計與分析

題目1中國自古是禮儀之邦，班會課開展“禮儀待人，學作揖禮”活動，平輩行禮，上半身彎15°，晚輩行禮，上半身彎45°．班主任和小王示范遇見師長行作揖禮.小王向班主任行了一個45°的作揖禮，班主任回了小王一個15°的作揖禮．已知小王身高150cm，上半身高70cm（把上半身定義為臀部到頭頂的距離）.

（A組）小王行禮時頭距離地面多高（）.

A.（70+352）cm

B.（80+352）cm

C.（70+353）cm

D.（80+353）cm

（B組）若班主任身高170cm，上半身高80cm（參考數據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，2≈1.41）；

（1）班主任回禮時，其頭部距地面的高度為cm；

（2）行禮時，人與人之間應該保持100cm以上的距離（指頭與頭之間的水平距離）最為適宜．行禮前，小王距班主任180cm，請問同時行禮、回禮時，班主任與小王之間的距離是否適宜？

分析涉及數學和道德與法制學科，利用三角函數解決道德與法制中的“行禮”問題，將尊敬師長和文明禮儀的傳統文化潛移默化地傳遞給學生，使立德樹人落地.在運用三角函數解決實際問題的過程中要先抽象出數學模型（圖6），再構造直角三角形（圖7）.A組考查任務二，是基礎型作業，涉及模型觀念、應用意識、推理能力、抽象能力和運算能力的數學核心素養，其均在l1水平上考查；B組考查任務三，是綜合型作業，涉及模型觀念、應用意識、推理能力、抽象能力和運算能力的數學核心素養，其均在l2水平上考查.

題目2中國傳統建筑文化博大精深，外國友人想學習中國傳統建筑的屋頂設計．圖8的古代建筑屋頂被稱為“懸山頂”，其側視圖（圖9）呈軸對稱圖形，極具美感.屋頂P到支點A的距離PA=5米，屋檐PM=6米，墻體高AD=3.5米，屋面坡角∠PAB=30°.（結果精確到小數點后兩位，3≈1.732）

（A組）導游向外國友人介紹“懸山頂”建筑，其屋頂P到地面CD的高度為；“懸山頂”四周可避雨，屋頂邊緣M到墻面AD的距離為.

（B組）（1）“懸山頂”房屋占地寬度CD為（）.

A.5.66米B.8.66米

C.4.86米D.2.88米

（2）導游向外國友人介紹“懸山頂”建筑中屋頂邊緣M到地面CD的距離，請你幫他算一算.

分析涉及美術、道德與法制、歷史和數學學科.從美術視角感受建筑中對稱的美與和諧.從道德與法制視角弘揚中國優秀傳統文化，學生增加民族自信.從歷史視角了解、傳播傳統建筑知識.從數學視角考查任務一，是基礎型作業.其綜合三視圖判斷幾何體、利用三角函數求邊長等知識添加輔助線，解決實際房屋建筑的問題，滲透化歸思想.A組涉及模型觀念、推理能力和運算能力的數學核心素養，均在l1水平上考查；B組考查l1水平的模型觀念、l2水平的邏輯能力和運算能力.

題目3 西漢《淮南萬畢術》記載著公元前2世紀中國古代潛望鏡的制法：“取大鏡高懸，懸水盆于其下，則見四鄰矣”，這是世界上最早的潛望鏡（圖10）.其工作方法主要利用了光的反射原理.圖11中，MN呈水平狀態，入射角∠NOA=30°，∠OMB=15°（入射角等于反射角，OA，MB為法線），若MN=106米，求光線從鏡面到達M經過的距離（即OM長度）.

（A組）小王書寫了部分解答過程：

過點M作MC⊥ON，交ON于點C，如圖12.

∵入射角等于反射角，

∴∠NOA=∠MOA=30°，

∴∠MON=∠NOA+∠MOA=60°，

∵BM⊥MN，∠OMB=15°，

∴∠OMN=∠BMN-∠OMB=90°-15°=75°，

∴∠N=180°-∠OMN-∠MON

=180°-75°-60°

=45°.

……

請你幫助小王將未解答完的部分書寫完整.

（B組）請完整書寫解答過程.

分析涉及數學、物理和歷史學科，在數學傳統歷史文化背景中融入物理問題，學生體會傳統文化融合跨學科知識的魅力.本題考查任務二、三，是綜合型作業.要求能根據題意找到直角三角形模型，綜合考查45°，60°三角函數和解直角三角形的應用，滲透化歸思想.在物理知識的運用中訓練跨學科解決問題的思維.A組涉及模型觀念、抽象能力、應用意識和運算能力的數學核心素養，其均在l1水平上考查;B組涉及模型觀念、抽象能力、應用意識和運算能力的數學核心素養，其均在l2水平上考查.

題目4讀萬卷書，行萬里路.泰寧的明清園（圖13）有“民間收藏博物館”之稱，是古城建筑藝術和人文歷史的傳承與延伸.學校組織學生到明清園研學，參觀司馬府第、藏寶閣、德馨書屋和聚賢堂四個地方.七年級1班、2班一同參觀，司馬府第A在聚賢堂B的正北方向，1班自司馬府第A處出發，沿南偏東30°方向前往藏寶閣D處；2班自聚賢堂B處出發，沿正東方向行走150m到達德馨書屋C處，再沿北偏東22.6°方向前往藏寶閣D處與1班相遇（圖14），兩個班所走的路程相同．（結果取整數，參考數據：sin22.6°≈513，cos22.6°≈1213，tan22.6°≈512，3≈1.732.）

（A組）（1）求司馬府第A與藏寶閣D間的距離；小李想：過點D作DE⊥AB交AB于點E，過點C作CF⊥DE交DE于點F，易得四邊形BCFE是矩形（圖15），則BE＝CF，EF=BC=15m，設DF＝xm，則DE=; AD=; CD=（用含x的代數式表示），列出等式進而可求x，則可求司馬府第A與藏寶閣D之間的距離.請根據小李的思路求解.

（2）根據第（1）問，求司馬府第A與聚賢堂B之間的距離；

（3）研學歸來，你向家人解說此次明清園研學中四個觀光點的位置信息，請寫出2個具有數學信息的解說詞（題目中已有的數學信息除外）.

（B組）（1）求司馬府第A與藏寶閣D間的距離；

（2）1班和2班出發時相距多遠（即線段AB長度）；

（3）同A組第（3）問.

分析涉及數學、地理、歷史和語文學科，將明清園的歷史文化和地理方位知識融為一題，學生感受到優秀傳統文化的同時還鍛煉了語言表達能力，將跨學科知識融合運用.本題考查任務四，是探究型作業.要求學生提煉信息，具備模型意識，能夠選擇適當的三角函數，設元用代數式表示出關鍵線段，進而解直角三角形，滲透化歸思想.A組考查l1水平的幾何直觀、創新意識以及l2水平的模型觀念、應用意識;B組涉及幾何直觀、模型觀念、應用意識和創新意識的數學核心素養，其均在l3水平上考查.

題目5在福建省三明市三元區麒麟山是外出游玩踏青的好去處，登麒麟山必登麒麟閣，憑欄遠眺，整個三明城幾乎盡收眼底.據1996年《麒麟閣重修記》云：“新閣拓其舊制，仿古塔造型，八角重檐，層層外挑，逾見玲瓏典麗.”九年級某班的數學“綜合與實踐”課對測量建筑物的高度開展了分小組項目式學習活動，測量麒麟閣的高度.（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.8.）

（A組）（1）丙同學設計了這樣的測量方案：如圖16，先在點W處用距離地面0.5m的測角儀測出位于此地麒麟閣A的仰角∠AWE=45°，再沿WH水平方向前進8m后到達H處，測得麒麟閣A的仰角∠AHE=38°，請根據丙同學的測量方案計算麒麟閣的高度.

（2）請你根據本題得到的啟發和小組同學一起完成測量學校旗桿高度的任務并按小組分享成果.其過程涉及準備階段（學生分組、分工，實踐方案的設計，工具的準備），實施階段，整理匯總階段（匯總和計算數據，完善“實踐報告”），匯報階段（分享成果）.

（B組）活動中，甲、乙、丙的測量方案如下：

如圖17，身高175cm的甲同學在M處放一面鏡子，通過鏡面反射可看到塔頂A，他到鏡子距離QM=2m.

如圖18，乙同學在點C處用距離地面0.5m的測角儀測出位于此地麒麟閣A的仰角∠ACE=37°.點C，E，D在同一條直線上，在沿CE水平方向56m的點D處用距離地面0.5m的測角儀測出麒麟閣A的仰角∠ADE=45°.丙同學設計方案見A組.

（1）數學老師看了他們的測量方案說：“其中一個同學的測量方案存在問題，得不到測量結果”，你認為（填“甲”或“乙” 或“丙” ）的測量方案存在問題.

（2）請選擇一個正確的測量方案計算麒麟閣的高度（精確到1m）.

（3）同A組第（2）問.

分析涉及數學、綜合實踐、歷史和地理學科，融入當地特色歷史文化建筑，激發學生興趣.本題考查任務五，在第（1）問中，學生的閱讀、推理和批判思辨能力得到訓練.第（2）問要能找到數學模型，利用銳角三角函數求實際物體高度，熟練運用邊角關系解直角三角形，訓練推理和運算能力．第（3）問以項目學習形式設計作業（仰角俯角問題和測量高度問題），此題為分小組合作的實踐型作業.學生通過閱讀，可類比已有測量方法設計方案，也可有自己創造性的想法，是開放性的作業，注重高層次思維和創新能力的培養.經歷“學習—應用—探索—發現—分享”的綜合實踐過程，采用自評、互評和師評的方式進行多元評價.A組考查l2水平的推理能力、模型觀念、幾何直觀、運算能力和l3水平應用意識、創新意識;B組考查l2水平的模型觀念、運算能力和l3水平的推理能力、幾何直觀、應用意識、創新意識.

4初中數學跨學科單元作業設計的建議

（1）構建單元視域下結構化的作業任務群

相關聯或同主題的知識可能存在同一章節或不同章節中，他們存在千絲萬縷的聯系，需要我們以結構化、整體化的眼光對其進行統籌、整合重組.通過結構化的作業任務群可最有效地將相關知識、思想、方法等巧妙關聯起來，以便促進學生思維結構化生長.

（2）注重因材施教理念下的變式改造分層設計

不同層次的學生基礎不同、能力不同，進行有指向性地分層設計作業尤為必要.要在最近發展區內最有效地幫助學生進行鞏固、提升，同一背景下的題目可對條件或求解問題進行變式改造，以便達到不同學生需考慮不同題型、不同層級思維訓練及設置不同水平數學核心素養題比重的要求.

（3）注重多學科融合的主題統整設計

現實世界是多元復雜的組合體，生活中的問題不僅僅是某一個學科的問題，可能是人文類、社會科學類、自然科學類的綜合題，這便要求教師在進行作業設計時要注重各學科的大融合，探索各學科間的聯系點，聚焦真實問題，關注學生日常生活和需求，深度整合各學科資源，形成跨學科思維體系，全面提升學生綜合素養.

（4）注重知行結合學科問題生活化的項目式作業設計

學科問題以生活化的場景呈現，學生更能夠置身于現實生活中，更深刻地體會到學科的應用價值.在研究學科問題中以項目為載體設計具有任務導向的探究性和實踐性作業能夠給學生帶來高層次的思維訓練.這種高質量的思考推動學生創造性地解決問題，同時，也促進著學生表達、交流、合作和動手操作等能力的發展.

（5）注重設計因地制宜具有育人特色的作業題型

不同學校的學生存在一定的差異性，作業設計應根據本校學生學情，考慮融合本校學生關注的、本地區社會宣傳的和國家倡導的熱點問題.另外，若能以本地獨特的文化或主流價值觀下的傳統文化為背景設計題目必能給學生耳目一新感，在鍛煉學生思維的同時潛移默化地滲透情感態度價值觀，春風化雨地實現育人目的.

（6）豐富評價形式建構以素養為導向的多元評價標準

作業的目的是幫助學生進行意義建構，讓學習更為有效.作業評價是現實與目標間差距的有效呈現，還是評價學生學習過程的重要依據.可通過組合教師評價、自我評價和學生間評價等形式全方面的評估學生的綜合素養，盡可能地發現學生優點，以學生之長鼓勵其慢慢向其他方面完善.作業評價要過程與結果并重，根據學生的知識、個性特征、品格與價值觀、綜合能力等構建符合素養導向的評價指標.

參考文獻

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作者簡介 鄭培珺（1993—），女，福建福州人，中學一級教師，三明市黃和悅名師工作室成員，三元區骨干教師;主要從事中學數學教學研究;兩次獲三明市作業設計一等獎，三次獲三元區作業設計一等獎.

黃和悅（1977—），男，福建三明人，中學正高級教師，特級教師，福建省三明教育學院初等教育和學前教育研究室主任，三明市黃和悅名師工作室主持人;主要從事中學數學教育教學研究;多次主持省課題，發表文章近40篇.

基金項目福建省教育科學“十四五”規劃2022年度“協同創新”專項課題“提升初中生數學表達素養的實踐研究”（Fjxczx22-114）.