構建“有深度”數學課堂，引導深度學習發生

【摘 要】課堂作為數學課程實施的主要陣地，擔負著發展學生數學學科核心素養的重要任務。在中學數學課堂教學中，教師可以通過情境激趣、問題驅動、體驗積淀、道理感悟等方式，引領“情境—問題”教學，構建“有深度”數學課堂，引導深度學習發生。

【關鍵詞】中學教學；核心素養；“有深度”數學課堂；“三度”數學課堂；正弦定理

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2024）11-0019-05

【作者簡介】姜文，貴州師范大學（貴陽，550025）數學科學學院講師。

有深度的數學課堂是指：教師在教學過程中以“教思考、教體驗、教表達”為基本教育理念進行教學設計，同時依托教學環境實施教學，從而使學生在學習中達到深度學習的目標，進而落實學生核心素養尤其是數學學科核心素養培養。［1］本文聚焦構建核心素養導向下中學“有深度”的數學課堂進行探索，擬為一線教師的數學課堂教學提供參考。

一、核心素養導向下中學“有深度”數學課堂的實施途徑

從實操層面講，“深度學習”是指學生學習興趣濃厚，能提出問題、解決問題，能自主地、探究式地學習，能理解學習內容的核心，能在表達、交流中促進所學知識的遷移和應用的學習方式。因而，深度學習應指向引領學生深層次、批判性思考。為此，一要有“核心問題”引領課堂學習，用問題激活學生思考；二要留出時間、空間，引導學生在探究中學習，獲得知識再發現的體驗；三要引導學生在生生、師生對話中把握知識的內涵，在自主解決問題的交流中加深思考。數學是思維的產物，數學教育重在培育學生的思維能力。數學學習，重在讓學生在獨立思考、自主探索中長見識、悟道理。因此，我們主張用“三教”引領“情境—問題”教學，構建“有深度”的數學課堂，促進學生“長見識、悟道理”，引導深度學習發生。

“有深度”的數學課堂利于學生養成“愛思考、重體驗、善表達”的學習習慣：愛思考是引導學生深度學習發生的靈魂，重體驗是引導學生深度學習發生的關鍵，善表達是引導學生深度學習發生的重點。［1］因此，結合“有深度”的數學課堂注重引導學生積極思考、自主體驗、善于表達的特征［1］，我們認為核心素養導向下中學“有深度”數學課堂需要圍繞如下四點實施教學［2］-［3］：

（一）情境激趣

教師要創設恰當的問題情境來激發學生數學學習的興趣，特別是要恰當應用學習情境激發學生的學習興趣。這里的問題情境要在考慮學生認知水平的基礎上，注重趣味性與挑戰性相結合，注重培養學生的創新思維和實踐能力。情境可以與學生生活實際聯系起來，但要注意情境中蘊含的數學元素和數學道理。

（二）問題驅動

教師要引導學生在對問題情境的探究中發現問題和提出問題，通過問題驅動，層層遞進，引發學生的數學思考。這里，要注意問題設置的層次性和挑戰性，教學中要關注學生個體差異，注重團隊合作。

（三）體驗積淀

教師要通過活動探索，促進學生學習體驗的積淀；要引導學生在解決問題的過程中增長見識，獲得知識“再發現”的體驗。

（四）道理感悟

教師要鼓勵學生批判、質疑，激發學生表達和求知的欲望，引導學生在表達交流中深度思考、感悟道理，促進學生長見識、悟道理。

二、核心素養導向下中學“有深度”數學課堂的教學案例

（一）創設情境，提出問題

情境：某地為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A和B。（如圖1）現要確定A，B兩點之間的距離。施工隊的測量人員是這樣做的：第一步，在岸邊定出基線BC，測量出BC=78.35m；第二步，用測量儀器測得∠B=69°43′，∠C=41°12′；第三步，根據以上兩步的結果計算AB的長。你知道測量人員為什么要這樣做嗎？

（圖1）

【設計意圖】通過巧妙設置數學情境，以學生熟悉的情境為載體，巧妙設置“角邊角”型的解三角形問題，調動學生學習的積極性，讓學生體驗數學與生活的關聯，體會正弦定理在解決實際問題中的應用。

（二）模型抽象，問題探究

師：為了研究的方便，我們將情境中的問題抽出來，并對數據做特殊化處理，變為以下問題。

【問題1】如圖2，在△ABC中，已知∠B =75°，∠C = 45°，BC = 4，求AB的長。

（圖2）

這個問題學生會有多種思路，教學中教師要在肯定其他解決方法的同時，重點關注利于發現正弦定理的思路，把學生引到正弦定理的發現上來。例如，如下思路對發現和證明正弦定理具有重要啟發：

如下頁圖3，由題可知，∠A = 60°，作AC邊上的高BD，記AB = c，BC = a。則sinC = [BDBC]，即BD = asinC = 4×[22] = 2[2]，同理BD = csinA=[32]c，因此[32]c = 2[2]，解得c = [463]。

這里，教師需要引導學生關注兩個方面：一是該思路蘊含了等量關系asinC = csinA，即[asinA] = [csinC]（為引導學生發現正弦定理作鋪墊）；二是直角三角形中一條直角邊與其對角的正弦的比的幾何意義是該直角三角形的斜邊（為引導學生利用三角形外接圓證明正弦定理作鋪墊）。

【設計意圖】將實際問題抽象為利于研究的數學問題，為進一步研究一般三角形的情形作鋪墊，同時也為發現和證明正弦定理作鋪墊，在“體驗”中培養學生數學抽象和直觀想象素養。

【問題2】在△ABC中，已知∠B = 75°，∠C = 45°，BC = 4，如何求AC的長？

【問題3】問題1和問題2的結果表明，在銳角△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則有[asinA] = [bsinB] = [csinC]。這是偶然還是必然？為什么？與同學交流。

【設計意圖】為學生發現正弦定理提供線索、作鋪墊，同時為學生“體驗”從特殊到一般的思維過程提供平臺。通過“教思考”，培養學生的邏輯推理和數學運算素養。

【問題4】我們已經知道在銳角△ABC中有[asinA] = [bsinB] = [csinC]，這個結論在直角三角形和鈍角三角形中成立嗎？為什么？

【設計意圖】引導學生深層次、批判性思考，在表達、交流中促進所學知識的遷移和應用，促進深度學習；引導學生在問題的探究中增長見識，獲得知識“再發現”的體驗。同時，通過讓學生回答該問題達到完善用作高法證明正弦定理的目的。

【問題5】你能用一句話來表述你發現的一般結論嗎？

【設計意圖】引導學生用簡潔的語言正確表述正弦定理的內容，培養其表達能力，發展數學抽象素養。

（三）定理發現，證法研析

基于以上討論，學生自主探究得到本節的重要定理——正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即[asinA] = [bsinB] = [csinC]。其中a，b，c分別為角A，B，C所對的邊。

【問題6】你現在明白開始給的情境中測量人員那樣做的原理了嗎？對此，你有什么感想？談談你的認識。

【設計意圖】引導學生借助正弦定理快速地解決情境中的問題，讓學生體會數學與生活的聯系。同時，在交流與表達中進一步激發學生學習數學的興趣，增強其學好數學的信心，促進深度學習目標的達成。

【問題7】向量是溝通幾何與代數的重要橋梁。同時，向量是解決許多數學問題的重要工具，特別是涉及長度、夾角等幾何問題時，可以通過向量及其運算得到快速解決。對于正弦定理的證明，可以從向量的角度來思考嗎？如果可以，怎么做？

【設計意圖】在經歷作高法證明正弦定理之后引導學生用向量法證明正弦定理，培養其發散思維。教學中，教師以銳角三角形為例引導學生思考，而把直角三角形和鈍角三角形的情形留給學生課后完成，并要求學生撰寫向量法證明正弦定理的體會和感想。

【問題8】正弦定理的形式非常優美，它給出了任意三角形中三條邊與它們各自所對的角的正弦之間的一個定量關系。結合這個關系式，你覺得正弦定理可以解決哪些類型的問題？

【設計意圖】引導學生從定理本身的形式出發思考定理的用途——正弦定理可以解決“已知兩角和一邊，解三角形”的問題和“已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形”的問題。

（四）典例剖析，方法歸納

例1：在△ABC中，已知∠A = 15°，∠B = 45°，c= 3+[3]，解這個三角形。

【設計意圖】直接利用正弦定理解決“已知兩角和一邊，解三角形”的問題。

例2：在△ABC中，已知∠B = 30°，b = [2]，c= 2，解這個三角形。

【設計意圖】直接利用正弦定理解決“已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形”的問題，同時啟發學生關注對正弦定理解三角形中多解問題的討論，特別是如何根據正弦定理判定解的個數問題。

（五）課堂小結，延伸思考

1.課堂小結

教師引導學生從以下三方面作小結：一是本節的基礎知識和基本方法；二是正弦定理的發現過程；三是在定理的發現和證明過程中感悟了什么道理。

2.延伸思考

思考1：如果[asinA] = [bsinB] = [csinC] = k，那么實數k的幾何意義是什么呢？它可否由△ABC的某個（些）元素來確定？

【設計意圖】每個三角形都可以當作是某個圓的內接三角形，而三角形的邊均變成了圓的弦。［4］從數學歷史發展的角度來設置問題，為給出正弦定理的完整形式作鋪墊的同時，引出正弦定理的外接圓證法。

思考2：利用正弦定理能否推出余弦定理呢？與同伴交流。

【設計意圖】余弦定理、正弦定理和射影定理是解三角形的理論依據［5］，但是教材中沒有突出射影定理，因此教師可以引導學生論證正弦定理和余弦定理的等價性，以此深化學生對這兩個定理的認識，從而實現學生深度學習。

三、結束語

“有深度的數學課堂能夠促進學生對科學思想方法的感悟”［1］，其前提是以教師精心設計的問題來引領學生思考、體驗和表達交流。作為“有深度”數學課堂指導思想的“三教”是一個整體，教師通過問題和情境引導學生在思考中體驗，在體驗中思考，在思考和體驗的基礎上更準確地表達，并在體驗和表達中產生新的思考，進一步促進學生長見識、悟道理。故而，在設計教學時，問題之間的邏輯結構就變得十分重要，“問題與問題之間是否具有內在的統一性和遞進關系，決定著課堂學習推進的程度，看似獨立的問題，也應當成為學生思維發展的臺階”［6］?！坝猩疃取钡慕虒W要求教師首先要對數學知識有深刻的理解，只有抓住數學的本質，才能引發學生的思考。因此，教學中需要教師在充分理解數學本質的基礎上精心設計隱蔽型的問題，并將學習的多重目標融入其中。這里，隱蔽型的問題不是“簡單”的問題，而是要盡量使問題體現“追求簡潔表面下的思維洶涌，用盡量簡潔的語言蘊藏豐富的數學知識”［6］。

上述教學案例從一個精心設計的問題情境出發，引導學生研究情境中蘊含的數學問題，并對數據進行特殊化處理，通過問題串的形式引導學生在分析問題和解決問題的過程中發現原理（正弦定理），進而證明原理的正確性，體驗從特殊到一般的思維方式。同時，學生在獲得正弦定理之后進一步用它解決問題，感受正弦定理在解決問題中的“威力”。通過引導學生“思考”“體驗”和“表達”，在經歷定理的發現、證明及應用的過程中促進學生深度學習，促進學生發展數學抽象、直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養。值得注意的是，新課標將“解三角形”內容放在“平面向量的應用”中，其目的是“體現向量學習的整體性”［7］，“意在為向量的應用提供一個重要載體，使學生進一步領悟向量法所蘊含的數學思想，掌握用向量運算解決幾何問題的基本要領和方法的同時，完善三角形的認知結構”［8］。因此，向量法證明正弦定理是需要教師引導學生訓練的。受課堂教學時間的限制，教師將在課堂上無法完成的部分布置給學生課后完成，讓學生有足夠的時間和空間體驗正弦定理的不同證法之間的比較（特別是向量法），并撰寫心得體會。這有利于培養學生的數學表達能力，進而利于學生對思想方法的深度理解和把握，促進學生數學思維能力的提升。因為文字的表達需要學生經過周密的思考，“沒有思考就沒有體驗，沒有體驗就難以表達，表達是思考和體驗的結果”。

【參考文獻】

［1］嚴虹.核心素養視閾下中小學“三度”數學課堂構建的一些思考［J］.數學通訊，2023（9）：6-9.

［2］唐海軍，呂傳漢.數學教學為什么需要“教思考、教體驗、教表達”——“三教”教學理念與實踐的再探析［J］.中小學教師培訓，2019（10）：51-55.

［3］李龍梅，嚴虹.核心素養視閾下中小學“三度”數學課堂構建的再思考［J］.興義民族師范學院學報，2023（4）：64-69.

［4］張小明.正弦定理的證明：從歷史到教學［J］.數學通報，2015，54（7）：15-17，22.

［5］黃漢禹.對正弦定理和余弦定理的研討［J］.數學通報，2011，50（6）：21-23，26.

［6］陳薇，沈書生.小學數學教學中深度問題的研究——基于專家教師課堂提問的案例分析［J］.課程·教材·教法，2019，39（10）：118-123.

［7］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書教師教學用書A版數學必修第二冊［M］.北京：人民教育出版社，2019：14.

［8］章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021：152.