理解抽象的層次性 落實數學抽象素養

【摘 要】本文基于王尚志教授對三角函數概念形成的教學分析，從數學抽象思維過程的層次性與產物結構的層次性兩方面出發，對三角函數概念形成的六個主要階段進行教學設計，為教師在實際教學中理解數學抽象的過程與層次性，發掘數學抽象之美，落實數學抽象素養提供啟示。

【關鍵詞】三角函數；數學抽象；概念形成；層次分析

一、引言

《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》中明確指出：“深化課堂教學改革……培養適應終身發展和社會發展需要的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力?！保?］為了能在數學課堂中高效率地落實核心素養，王尚志教授在“國培計劃（2020）”天津師范大學培訓班中，以任意角三角函數概念的形成為例，鞭辟入里地闡釋如何理解數學抽象的層次性，進而落實數學抽象素養。

任意角的三角函數在三角學中具有重要地位，由于其定義方式與冪、指數和對數函數的定義方式有所不同，因此引導學生建構任意角三角函數的概念歷來都是教學中的重點和難點。［2］在以往的教學設計中，章建躍的單位圓定義法單刀直入［3］，再在適當的時機聯系銳角三角函數，不失為一種不錯的選擇。不過這種設計在導入的伊始，與學生已有認知結構中銳角三角函數概念的聯系不夠緊密，可能會增加學生的認知負荷。那么，如何在保證借助單位圓定義三角函數的前提下，照顧到學生的銳角三角函數的經驗基礎，實施任意角三角函數概念的教學呢？本文立足于數學抽象的層次性，深入分析三角函數概念形成過程中抽象的六個階段，為廣大一線教師實施教學、落實數學抽象素養提供啟示。

二、數學抽象的層次性分析

數學研究對象是對現實世界的數量關系與空間形式的逐級抽象形成的形式化思想材料，這種思想材料的獲得并不是一蹴而就的，而是逐級抽象的結果。［4］數學本身是一個層次分明的學科，每一層都是建立在之前的層次之上。數學抽象的層次性可以從兩方面理解：一是在思維過程中體現層次性，二是在產物結構上具有層次性。

（一）數學抽象在思維過程中體現層次性

從思維過程與活動上看，數學抽象具有層次性。史寧中等把數學概念的抽象過程劃分為三個層級：第一層是簡約階段，包含辨別、分化、類化3個步驟；第二層是符號階段，包含檢驗、概括2個步驟；第三層是普適階段，包含推廣、形式2個步驟。［5］這三個層級7個步驟共同組成了概念形成的一般抽象過程。在任意角三角函數概念形成的教學中，這7個步驟可構成教學內容的明線，通過建立認知沖突，體會用單位圓定義三角函數的便利性，提升學生的數學抽象能力。

（二）數學抽象在產物結構上具有層次性

從數學內容上看，數學抽象的產物在結構上也具有層次性。為反映抽象物所具有的抽象性層次，徐利治等定義了抽象度的概念，創立了抽象度分析法，以對數學概念和具體數學問題中的抽象程度進行分析。［6］他將數學抽象的方法分為強抽象、弱抽象、廣義抽象，分別刻畫了特殊化、一般化、類比聯想、歸納猜測等思想方法的表現形式。在任意角三角函數概念的抽象過程中，需要從初中已形成的三角函數原型中選取某一側面加以抽象，從而獲得更廣的認識結構，使原結構成為新結構的特例，這也是概念擴張式抽象中的弱抽象。具體可寫出如下抽象概念鏈：

銳角三角函數值?以角為自變量的三角函數?一般三角函數

其中?是構成抽象鏈的序關系。在教學過程中，這一三角函數的抽象鏈可構成教學內容的暗線，引導學生從已形成的銳角三角函數的認識基礎出發，深化對三角函數概念的理解，形成一般三角函數的概念。

三、基于數學抽象層次分析的“任意角三角函數概念”教學設計

（一）辨別階段：初中形成的三角函數概念

辨別階段主要是辨別各種刺激模式。這些刺激模式可以是學生已形成的認知經驗基礎，也可以是與學生日常生活相關的經驗事實。從初中銳角三角函數的定義入手，有利于調動學生在初中三角函數學習過程中的有關知識，進而實現由外部刺激引入學習情境。通過對三角函數概念體系進行逐級抽象，學生可以看清知識的來龍去脈，認識到三角函數在不同階段領域的聯系與區別，展示數學抽象的獨特魅力。

問題1 在初中，我們是如何研究銳角α的正弦、余弦函數的？

初中是利用相似的直角三角形，探索學習特殊角銳角三角函數的值。這主要研究的是銳角三角函數值的計算，而不是真正意義上的函數分析?？商热粢詥挝粓A的定義方式直接引入，學生難免會產生“為什么引進單位圓？這一做法是如何想到的？”等疑問。因此在教學過程設計中，從學生已有認知結構中對邊的比的認識出發，明確數學抽象的基礎與原型，有助于實現三角函數概念從初中靜態認識到高中動態理解的順利過渡。

（二）分化階段：讓變化融入三角函數

分化階段主要是分化出各種刺激模式的屬性。為理解高中三角函數概念的本質屬性，就需要從函數和變化的視角對刺激模式的屬性予以分化。三角函數概念的抽象過程需要學生親身經歷、動手體驗，在再發現、再創造的過程中逐漸形成對概念的深刻認識，因此通過尋找具體三角函數值的幾何表征，讓學生感受用不同方式描述三角函數概念的特點，該過程有利于發展數學抽象素養。

問題2 （1）如何用幾何圖形畫出sin60°？

（2）再畫一個sin45°，你會選用何種方法？

（3）在之前的學習中，我們知道函數是研究事物變化規律的數學模型。以區間0°到90°為例，如何在變化中表示三角函數？

初中大多是在靜態的過程中研究直角三角形的邊角關系，而函數是研究變化規律的數學模型，因此就需要學生從變化的角度重新認識三角函數。以0°到90°為例，從邊的比方面考慮，有兩種描述變化的表示方法：第一種是固定直角三角形的一條直角邊的長度，通過變化另一條直角邊與斜邊的長度進而表示不同角度的大小如圖2（a）；第二種是固定一條斜邊的長度，通過兩條直角邊的變化對不同的角度進行表示如圖2（b）。通過幾何直觀的形式展現直角三角形中兩種邊角關系變化的描述方法，有利于突破在（單位）圓中定義任意角三角函數的教學難點。

問題3 圖2中描述變化的方式有什么不同？各自有何優勢？

圖2（a）的描述方式可以直接從初中所學的知識推廣得出，也可以連續地描述角的變化情況，學生易于理解和接受。但是這種方式既不利于用代數符號對變化的量予以表征，也不利于推廣至大于90°角的情形。對于圖2（b），由于直角三角形斜邊的長度是固定不變的，因此線段的一個端點繞另一個端點旋轉一周所形成的軌跡就是一個圓，如果簡化一點就可以把它看作是一個單位圓，對于給定的0°到90°的銳角α，角的一邊與單位圓交點的橫坐標與初中所定義的cos α保持一致，縱坐標與初中定義的sin α保持一致。教學時引導學生對這兩種方式進行比較，有利于明確引入單位圓模型的自然性與合理性，同時借助單位圓模型把握三角函數概念中的關鍵屬性——終邊與單位圓交點的橫坐標與縱坐標。

（三）類化階段：從0°到90°的三角函數到任意角三角函數

類化階段主要是提出抽象對象關鍵屬性的種種假設。在三角函數概念的形成過程中，共同關鍵屬性可假設為：角度同角的終邊與單位圓的交點的橫、縱坐標分別一一對應。在概念形成的同時滲透坐標法的思想，有助于發展學生的數學抽象素養。與此同時，依托數學思想方法可以深化對三角函數概念的理解，有助于學生認識并形成數學抽象的思維方式，進而感受數學抽象之美。

問題4 圖2中哪種描述變化的方式更有利于三角函數概念的推廣？為什么？

對任意角三角函數概念的拓展，首先需要對角的定義進行推廣，其次要對三角函數的定義進行推廣。角的定義的推廣在之前的學習中就已經完成。對于三角函數的概念而言，借助單位圓模型是更有利于推廣的，因為在這個模型中滲透了解析幾何的思想——以點的坐標替代邊的比例關系。因此借助直角坐標系的單位圓模型，從0°到90°角拓展至任意角的過程中，角的終邊始終會與單位圓有一個唯一交點P，此時點P的橫坐標x就是0°到90°角的橫坐標的推廣，我們將其定義為cos α，縱坐標[y]定義為sin α，縱坐標與橫坐標的比y/x定義為tan α。解析幾何的思想不僅體現在任意角三角函數概念的形成過程中，在描述一般函數變化時，坐標思想也起到了重要作用。通過上述過程引導學生感悟坐標在解決函數問題時的實用性，這對培養學生分析和解決問題的能力，在特定的情境中檢驗假設，確認用點的坐標定義任意角三角函數這個關鍵屬性都具有重要意義。

（四）檢驗階段：從任意角三角函數到三角函數

檢驗階段主要是在特定的情境中檢驗假設，確認概念的關鍵屬性。在檢驗過程中，采用變式是一種有效手段。通過列舉其他周期變化現象的實例，展示三角函數概念由淺入深的抽象過程，實現從“角度與實數集之間一一對應”到“實數集與實數集之間一一對應”的突破。學生逐步形成具體模型到形式模型的一般認識，感受數學抽象的層次性。

問題5 三角函數除了描述物體做勻速圓周運動，還能描述如簡諧振動、潮汐變化等周期變化。以角為自變量的三角函數與一般三角函數概念之間存在哪些差別？

第一，以角為自變量的三角函數不足以反映對三角函數的整體的理解。例如潮汐現象也是可以利用三角函數來描述的一個現實模型，其自變量是時間而不是角度。此外，簡諧振動、交流電等均可以用三角函數來描述。這些周期變化的自變量和函數值都可以是與角無關的其他量。

（五）概括階段：整體理解三角函數概念

概括階段主要是在概括的基礎上形成概念。在驗證了假設后，需要將關鍵屬性抽象出來，并能區分有從屬關系的概念之間的不同屬性。將高中三角函數的概念與初中三角函數、高中函數概念的相關觀念分化，并用語言概括說明。這一階段可以幫助學生梳理三角函數概念的抽象過程，形成概念的邏輯鏈條，實現數學抽象能力的螺旋發展。

問題6 如何從多個角度全面理解三角函數概念？

第一個角度：三角函數是刻畫變量間變化規律的數學模型。第二個角度：三角函數是實數集之間特殊的對應關系。第三個角度：三角函數是平面直角坐標系中一種特殊的圖象。通過深入剖析概念的內涵全面認識三角函數，使三角函數概念與學生已有認知結構中初中三角函數的概念、函數的概念、函數圖象的概念建構起實質性的聯系，這也是三角函數概念形成過程中的一個關鍵步驟。

（六）推廣階段：全面認識函數，感悟數學抽象素養

推廣階段主要是將新概念的共同關鍵屬性拓展到同類事物中去。三角函數既然是一類函數，那么便可以用函數的研究方法去探究三角函數的基本要素（定義域、值域、對應關系）和有關性質（奇偶性、單調性等）。此過程可以促使學生將三角函數的概念融會貫通，內化認知。

問題7 回憶三角函數概念的學習過程，你對函數的概念又有了哪些新的認識？

在三角函數概念的形成過程中，需要站在變化的視角對角的大小進行描述，也需要在自變量與因變量是兩個實數集的情況下進行研究，這兩個特點也正是高中函數概念之精華所在。通過系統地回顧三角函數概念形成的過程，幫助學生理解函數這個重要的上位概念，從而發展數學抽象素養，適當合理地滲透推理與直觀想象。

四、結語

在學習和應用數學的過程中，提升和發展數學抽象素養是實現數學課程目標的關鍵。［7］教師在日常教學中，要充分理解數學抽象在思維過程與數學內容中的層次性，以生活和數學情境為抽象基礎［8］，以數學探究活動為抽象載體，以數學課程中的核心概念和模型為抽象內容，通過合理地設置問題串展現抽象的來龍去脈，進而有意識地發掘數學抽象之美。

參考文獻：

［1］國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見［EB/OL］．（2019-06-19）［2023-02-19］．http：//www.gov.cn/zhengce/content/2019-06/19/content_5401568.htm．

［2］沈威，曹廣福.高中三角函數教育形態的重構［J］.數學教育學報，2017（6）：14-21，71.

［3］章建躍.為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數［J］.數學通報，2007（1）：15-18.

［4］吳立寶，王光明.數學特征視角下的核心素養層次分析［J］.現代基礎教育研究，2017（3）：11-16.

［5］史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版）解讀［M］.北京：高等教育出版社，2018：82-83．

［6］徐利治，王光明.數學方法論選讀［M］. 2版.北京：北京師范大學出版社，2019：35-43.

［7］王尚志，呂世虎，張思明.理解《普通高中數學課程標準（2017年版）》的八個關鍵問題［J］.人民教育，2018（9）：54-55.

［8］張雁冰，李健，呂天璽. 2022年高考數學情境化試題的特征分析［J］.中學數學雜志，2022（11）：49-53.

（責任編輯：潘安）