“學習進階”視域下的數學單元復習課模式探索

彭鵬

摘要：本文研究者以“勾股定理”的單元復習為例，呈現“學習進階”視域下的數學學習活動設計，提出以“立德樹人”為統領，以“明暗相交的目標”為主線，以“問題鏈”為載體，實現高階思維的培養和數學核心素養的發展，彰顯數學學科育人的價值.

關鍵詞：學習進階；單元復習課；勾股定理

數學學習是一個螺旋上升、不斷進階的過程，學習者在各個學習階段有著不同的具體學情，也有著不同的學習目標.而“學習進階”理論作為一個教育學概念，則是基于學習者以上學習事實而提出的，倡導讓學習者的數學學習從低階走向高階、從模仿走向創新、從現象走向本質，以實現高階思維的培養和數學核心素養的發展，彰顯數學學科的育人價值［1］.

單元復習課對于日常數學教學而言基礎且重要，原因在于其承載著梳理知識、完善結構、培養思維和發展素養等多重任務.然而一些教師為了完成教學任務，常常傾向于大容量、高難度和快節奏，這種教學模式以教師講、學生聽為主，難以調動學生復習的內驅力，弱化了知識的重建、結構體系的再構建及思想方法的再優化，無法讓數學學習走向高階.

事實上，復習課在實踐“學習進階”理論中具有較大優勢.下面筆者以“勾股定理”的單元復習為例，說明“學習進階”視域下的單元學習活動設計，以饗讀者.

1 “學習進階”下的課前思考

作為平面幾何中的重要定理之一，“勾股定理”不僅揭示了直角三角形三邊的數量關系，而且是滲透數形結合思想的有效載體.基于對新課標的分析，筆者認為本節課的進階起點大致如下：對勾股定理及其逆定理的內涵、相互關系有一定的認知基礎，并能解決一些簡單的實際問題.據此，教師可以圍繞進階起點設定進階目標［2］.

當然，本節課的學習進階由于各種具體學情，存在如下障礙：（1）受到新課學習中諸多因素的影響，如時間緊導致勾股定理及其證明不夠充分，時間久導致定理證明的遺忘等，使得不少學生“只知其然”；（2）由于學生缺乏在復雜情境中探尋隱含關系的能力，使得本節課的學習進階困難重重；（3）學生思考和表達能力方面的欠缺，使得后續解決立體圖形表面“最短路徑”問題落入困頓的境地.同時，如何融通定理內涵與愛國情懷，培養學生的實踐能力和合作意識等都是本節課的難點.

2 “學習進階”理論下的教學設計

2.1 情境導入，融入學習

問題1 圖1是聳立于薩摩斯島的畢達哥拉斯雕像，從中你能生成什么數學聯想？（課件呈現圖1，學生很快據圖抽象出“直角三角形”，并引出其性質等.）

設計意圖：通過數學史素材設計一個問題，一方面引領學生溫故知新，讓學生沿著知識臺階與思維起點探索，沿著精準進階路徑前行；另一方面，通過素材為后續勾股定理的進階認識打下伏筆.

2.2 自主檢測，進階起航

教師共出示五個習題（此處由于篇幅有限，具體習題略）.

設計意圖：通過拾級而上的五個問題，考查定理本身及其幾何意義、逆定理的應用及勾股數，強調定理本身的內涵，綜合應用定理及其逆定理；通過“趙爽弦圖”證明定理，助力學生自主整理知識，完成自主梳理和思維進階.同時，教師在巡視中了解學生的進階起點，為學生后續的進階學習設計科學而適切的路徑.

2.3 踏梯而上，逐層進階

問題2 如圖2，一根竹子原高一丈（等于10尺），一陣風來竹子折斷，竹稍恰好抵地，且抵地處距竹子底部6尺，試求折斷處距離地面的高度.（出自“折竹抵地”問題.）

問題3 如圖3，已知一池塘的截面為正方形，其邊長10尺，池塘中央長著一棵蘆葦AB，高出水面的部分BC長1尺.若把AB沿著與水池邊垂直方向拉向岸邊，則該蘆葦頂部B剛好碰到岸邊的B′處，試求水深及蘆葦的高度.

問題4 在圖4所示的直角三角形紙片ABC中，已知AC=6 cm，BC=8 cm.若將邊AD沿著AB折疊，使其落于斜邊AB上并與AE重合，求線段CD的長度.

問題5 在圖5所示的長方形ABCD中，已知AB=16，BC=8.若沿著AC折疊矩形ABCD，使得點D與點E重合，且CE交AB于點F，求線段AF的長度.

問題6 圖6所示的長方體木塊的長、寬、高分別為4 cm，3 cm和4 cm.已知一只蜘蛛藏匿于木塊的一頂點A處，一蒼蠅停在與蜘蛛相對的頂點B處.若蜘蛛想沿著最短的路線捕獲蒼蠅，則需沿著什么路線爬上去？最短路徑的長是多少？

設計意圖：在這一環節，教師以不同層次的多個問題進行引導，以例題與變式相結合的方式，逐級提升問題難度，讓學生通過自主探究、小組討論和合作交流分析與解決問題，培養數學思考、語言表達和數學探究能力，使思維品質與理性精神得到最大限度的發展.在學生解決問題6之后，教師繼續從“立體圖形表面最短路程”角度提出變式問題，如螞蟻爬圓柱表面、爬多級臺階等，讓學生充分想象和思辨，以發展直觀想象能力和數學思考能力.此處將勾股定理模型貫穿整個環節，使學生學習的積極性越發高漲，讓數學學習越發深入.

2.4 課堂小結，深化學習（略）

2.5 課后進階，升華課題

問題7 “勾股定理”看似簡單，卻有著深刻的寓意，下面請大家從以下課題中選擇一個以小組合作的方式研究：

（1）“勾股定理”的歷史；

（2）整理“勾股定理”的證法（不少于8種）.

問題8 各小組圍繞如下話題試著制作一張專題手抄報：

（1）古今中外數學家研究勾股定理的有趣故事；

（2）具體介紹搜集的勾股定理驗證方法中的一種；

（3）以上課題學習中你的收獲與困惑.

設計意圖：本章節知識中囊括了豐富的德育元素，為教師的“立德樹人”價值追求提供了契機.在這一環節中，教師鼓勵學生以小組合作的形式展開研究性學習，更加深入地了解勾股定理的發展史和各種證法，并以手抄報的形式展示成果，水到渠成地培養學生的愛國情懷與科學精神.當然，由于課堂學習時間有限，本環節可以延伸到課后，使學生的深度學習不斷延伸開去.

3 幾點思考

3.1 以“立德樹人”為統領

數學知識是人類文明的產物，承載著各種思想與文化，一線教師需自覺將“立德樹人”的目標落實在具體的教學之中.在本課中，教師以“立德樹人”為統領，針對性地將其列為學生學習進階的延伸點，通過“一針見血”的設計與引導，提升數學復習課的育人價值，以文化力量厚植學生的愛國情懷，水到渠成地提升學生數學核心素養.

3.2 以“明暗相交的目標”為主線

數學學習需要落實知識技能與學科素養雙重層面的目標，這就需要教師基于這兩個層面分別設計“明暗相交”的進階目標，讓學生在漸次提升的問題情境中深度思考、探究和交流，最終實現學習的自然進階.在本節復習課中，教師的教學設計呈現多個水平層次，讓學生在低起點、高立意的數學探究進程中獲取數學知識技能，發展數學思維，提升數學素養［3］.

3.3 以“問題鏈”為載體

數學復習課應以問題為紐帶，以知識的發展與思維的培養為主線，以師生、生生互動的形式形式提高學生學習的參與度，增強數學思維的層次性，提高復習課的質效.本課中教師基于學習進階目標精心選題改編，并以“問題鏈”為載體，引導學生獨立探索和互動研討，使學生的思考脈絡得到遞進式發展，促進數學素養的自然提升.

參考文獻：

[1]李松林.以大概念為核心的整合性教學[J].課程·教材·教法，2020，40（10）：56-61.

[2]呂世虎，吳振英，楊婷，等.單元教學設計及其對促進數學教師專業發展的作用[J].數學教育學報，2016（5）：16-21.

[3]史寧中.高中數學核心素養的培養、評價與教學實施[J].中小學教材教學，2017（5）：4-9.