直觀先行推理為本，選材導學素養是根

喻立楊 趙一凡 王先義

課題信息：四川省教育科研課題“情景教學視域下的高中數學‘教-學-評一致性研究”，課題編號為YB2023010.

摘要：2023年高考全國甲卷數學試題體現了高考“一核四層四翼”的評價要求，突出考查高中數學六大核心素養，尤其著重考查了直觀想象素養，全卷23道題中有15道涉及數學直觀，涵蓋高中數學的各大主題，分值占比60%以上，這類問題可從直觀尋求突破，再用邏輯推理加以論證.

關鍵詞：核心素養；直觀想象；邏輯推理

2023年高考全國甲卷數學試題緊跟黨的二十大精神，貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，促進五育并舉，反應新時代基礎教育課程理念，突出體現了高考“一核四層四翼”的評價要求.試題延續了注重基礎性、考查必備知識的傳統，突出關鍵能力和學科素養的考查，尤其是數形結合能力和數學直觀素養.

總體上，本套試卷有以下幾個特點：

①通過恰當的背景，落實五育并舉，如第6，9，19題；

②創設合適的情境，考查關鍵能力，如第1題集合，第2題復數，第9題計數等；

③設置豐富的試題，注重直觀想象，如第4題向量，第11，18題立體幾何等；

④猜想驗證相結合，注重邏輯推理，如第20題解幾，第21題導數等.

1 試題評析

1.1 精簡試題情境，傳達五育精神

與往年的命題情境相比，2023年顯得更為精簡.常見的考題情境包括生活情境、科學情境以及純粹的數學情境，試卷中第6，9題為生活情境，19題為科學情境，其余考題均是純粹的數學情境.總體感覺題目“短小精悍”.

其中，第6題以報名足球與乒乓球俱樂部為情境，傳達了體育教育；第9題以志愿者參加社區服務為情境，傳達了德育以及勞動教育；第19題以探究藥物的作用為情境，也傳達了德育以及勞動教育.

總之，試卷既傳達了五育并舉的教育要求，又回歸了對數學學科本身的考查.

1.2 突出素養導向，落實學科價值

根據高考評價的要求，必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值是高考考查的四個層次的內容.同時，發展學生的學科素養也是教學的重要目標.試題對學科素養的考查充分突出.

例1? （第1題）設集合A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|x=3k+2，k∈Z}，U為整數集，則瘙綂U（A∪B）=（? ）.

A.{x|x=3k，k∈Z}

B.{x|x=3k－1，k∈Z}

C.{x|x=3k－1，k∈Z}

D.

本題雖考查集合的運算，但滲透了分類思想，蘊含“同余”概念.終邊相同的角的集合中蘊含著同余思想，故該考題源于教材.此題要求考生從集合的“符號語言”中抽象概括集合的含義，故本題是考查數學抽象的典型試題，體現了描述法表示集合的優勢，即高度抽象.

例2? （第2題）若復數（a+i）（1－ai）=2，則a=（? ）.

A.－1

B.0

C.1

D.2

本題考查復數代數形式的運算，考點單一，不難求出a=1，是考查數學運算的典型試題.本題不考別的，只考運算，精準命題，目標明確，體現一個“準”字.

例3? （第7題）“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的（? ）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

本題以同角關系為背景，考查常用邏輯用語中的充分條件與必要條件，是考查邏輯推理能力的典型試題，體現一個“隱”字.

數列解答題也能充分體現邏輯推理.

例4? （第17題）已知數列{an}中，a2=1，設Sn為{an}的前n項和，2Sn=nan.

（1）求{an}的通項公式；

（2）求an+12n的前n項和Tn.

第（1）問中，當n≥2時降階相減得到（n－2）an=（n－1）an－1，接下來無論用累乘法，還是轉化為常數列，都需要把n－2作為分母，因此n=2需單獨處理，n≥3時才能把n－2作為分母，可見試題用隱蔽的細節鑒別考生邏輯推理能力，體現了一個“隱”字.

例5? （第9題）有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則兩天中恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（? ）.

A.120B.60C.40D.30

本題方法多樣，但最簡解即A35=5×4×3=60.問題可抽象為從5個元素中取3個，分別只參加周六、只參加周日及兩天都去，符合排列的概念，從而秒殺此題.本題是考查數學建模的典型考題，體現一個“精”字.

例6? （第19題）略.

本題以探究某藥物對小鼠的生長作用為情境，給出了對照組和實驗組各20只，共40只小鼠的體重數據，在第（2）小題中要求考生求出這40個數據的中位數.不少考生表示“眼睛花了”“頭大了”.事實上，考題中兩組數據都已按照從小到大的順序排好，考生抱怨可見其數據處理能力不足.數據處理作為數學核心素養之一，要求考生既掌握原理，又做好實踐，考生的表現說明數據處理核心素養的培養任重道遠.本題體現一個“理”字，數據處理，落腳在“理”.

上面例子呈現了考題對數學抽象、數學運算、邏輯推理、數學建模、數據處理核心素養的考查，考查的內容相對單一，注重基礎性，體現應用性.

1.3 重視數學直觀，區分關鍵能力

直觀想象也是核心素養之一，對數學直觀的考查是本卷的亮點和重點，本卷中體現數學直觀的考題較多，綜合性強，具有創新性.

體現數學直觀的試題有15道，超過了試題總量的一半，涉及眾多章節，按總分160分算占106分（選做題第22題、23題二選一，各10分），占比66.25%，這些題目構成試卷的主體，決定試卷的考查效果，羅列如下.

由表1可見，試卷高度重視數學直觀.不少試題可以直觀“秒殺”，也有雖不能秒殺，但可以“猜想”，然后通過邏輯推理證明猜想，其模式可概括為“直觀先行，推理為本”.

例7? （第4題）向量|a|=|b|=1，|c|=2且a+b+c=0，則cos〈a－c，b－c〉=（? ）.

A.－15

B.－25

C.25

D.45

圖1

注意到a+b+c=0，如圖1，由和向量為零向量構造“閉合回路”△PQR，根據三邊長知，△PQR為等腰直角三角形，建系寫坐標即可秒殺此題.畫圖方式不唯一，但不畫圖用公式算其運算量大，而且計算時抽象空洞.此題體現了數學直觀的重要性，完美呈現了式與圖、數與形的美妙互譯.

例8? （第10題）已知函數f（x）為函數y=cos2x+π6向左平移π6個單位所得函數，則y=f（x）與y=12x－12圖象交點個數為（? ）.

A.1

B.2

C.3

D.4

得到y=f（x）的解析式后，只要圖象（如圖2）畫得標準，就可以直接看出交點個數為3，秒殺此題，也可以借助計算關鍵點處的函數值，通過比較大小推理驗證猜想.本題隱蔽地考查了“作圖”能力.

例9? （第18題）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距離為1.

（1）證明：AC＝A1C.

（2）若直線AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.

如圖3，本題中CA，CB，CA1兩兩垂直，以它們為x，y，z軸建系，看似方便，但由于CA，CB，CA1長度未知，關鍵點坐標不能直接寫出，陷入困境.設坐標A（a，0，0），B（0，b，0），A1（0，0，c），其中a，b，c均大于0，通過待定系數法雖然也能解題，但是字母運算讓人心存敬畏.

本題兩個問題均以距離作為已知條件，在歷年的試題中是少見的，需要考生通過降維把“空間距離”轉化為“平面距離”，實現立體圖形的“平面化”，在平面多邊形中計算關鍵數據.借助空間平行、垂直的相關定理，通過轉化，可知△A1CA是等腰直角三角形，△A1BA是等腰三角形.若能夠實現上述轉化，就能看透該幾何體的結構特征，簡化求解過程.本題對數學直觀的要求較高，區分度很好.

此題用坐標法、綜合法都能求解，但都不簡單，可謂“一舉兩得，一題多考，方法取舍見高下”.

作為試卷中難度較高的如下兩道解答題，通過數學直觀也能很快得出猜想.

例10? 〔20題第（2）問〕F是拋物線y2=4x的焦點，M，N為拋物線上的兩點，且MF＼5NF=0，求△MNF面積的最小值.

如圖4，如果過點F任意作兩條相互垂直的直線，得到四邊形MNM′N′被對角線分為4個符合題意的直角三角形，直觀察覺，當M，N都在點F左側時，三角形的面積較小，猜想當△MNF為等腰直角三角形時面積最小，從而迅速入題.

證明時，可以用坐標法，但運算量大;若用焦半徑的夾角公式，運算量會極大降低.這體現了幾何直觀的優越性.

設MF與x軸的夾角為，∈0，π4，則|MF|=21+cos ，|NF|=21+sin ，且S△MNF=12|MF||NF|，即S△MMF=12＼521+cos ＼521+sin =4（1+sin +cos ）2=41+2sin+π42≥4（1+2）2=12－82，當且僅當=π4，即△MFN為等腰直角三角形時，面積取得最小值.

本題既要埋頭算，更要用眼看，體現一個“悟”字，真是直觀先行，推理為本.

例11? 〔21題第（2）問〕已知f（x）=ax－sin xcos3x，x∈0，π2.若f（x）

本題利用以下兩種直觀感知可得出猜想.

一種是利用三角函數線（或面積），當∈0，π2時，sin <（如圖5）.

考慮a＞0時命題成立的必要條件是asin x－sin xcos3x

動靜結合，辯證看圖，其實，圖5中還蘊含著limx0sin xx=1，limx0tan xx=1兩個重要極限，因此本題也可以取極限得到必要條件.

另一種是端點效應，切線與曲線的相互近似代替.

令g（x）=ax－sin xcos3x－sin 2x，x∈0，π2，注意到g（0）=0，由導數的幾何意義，直觀感知得到“g（x）<0，在x∈0，π2上恒成立”的必要條件是“g′（0）≤0”（如圖6）.

而g′（x）=－4cos2x+2cos2x－3cos4x+2+a，故g′（0）=a－3≤0，得a≤3.

以上兩種直觀方法都能求出必要條件，但都需要驗證充分性，只需要放縮即可.

本題將三角函數與一次函數整合，利用導數工具研究其性質，難度較高，但通過直觀感知不難獲得猜想，既可以用直觀放縮轉化，也可以用直觀端點先行，體現一個“活”字，降低了難度.

2 反思與建議

2.1 深挖問題，就題論道

從2023年高考全國甲卷中可以發現，試題背景熟悉，問題常規自然，考查內容基礎，主要考查考生對相關問題的通性通法的掌握，此類問題占比超90%，例如理科第17，18題的數列和立體幾何，亦是對相關問題通性通法的考查.“背題型，背套路”的刷題本質上是沒有理解“套路”背后的原理，考生一旦遇到題目“化妝”（如第18題已知距離，證明線段相等），就不容易找到解題策略.因此，在平時的復習備考中，學生不僅要掌握基礎知識和訓練基本技能，也要能夠挖掘知識的廣度、深度以及表達；不僅要掌握其中的套路，更要逐漸內化成數學思想和方法，獲得活動經驗，實現從“解題”到“解決問題”，從知其然到也知其所以然，達到從“就題論題”到“就題論法”再到“就題論道”，讓試題價值最大化，實現“做一題，得一法，會一類，通一片”.

2.2 立足課堂，落實素養

試卷中諸多試題可以利用數學直觀巧妙破解，但這需要考生通過日常的學習養成直觀想象的習慣和意識.美國著名的教育家杜威說：“教學必須從學習者已有的經驗開始，學生是學習的主體，是課堂的主人，一切教學都是為了學生的發展.”學生是課堂教學的主體，課堂作為日常教學的主陣地，占據學生學習的大部分時間，是學生活動、思維、實踐和創新的關鍵戰場，因此這是扎實學生基礎知識，培養、鍛煉和塑造學生能力，養成必備的數學素養的重要戰場，需要教師在日常教學中關注學生，因材施教，對學生進行整體和個性的教育，從而促進核心素養的落實.

2.3 關注命題，科學備考

新高考命題模式對一線教師來說是一個挑戰，需要深入研究新高考試卷特點與命題動向.2023年新高考全國卷在考試內容改革、題型創新、試卷結構以及科學調控難度方面作出了進一步探索.在內容改革上，以新課標為命題依據進行命題，仍然突出對理性思維和關鍵能力的考查，通過設計真實問題情境，融合數學文化，滲透德智體美勞的育人理念，全面貫徹“立德樹人”的教育方針.在題型創新方面，堅持開放創新，能力立意，在考查內容不變的情況下，改變問題的類型和考查要點.在試卷結構方面，大題布局變化較大，破除導數壓軸的定勢，如新Ⅰ卷第19題導數，再次驗證了“反刷題”；堅持以新教材為依據進行命題，堅持考教銜接，如新Ⅰ卷第3，10和21題等.在科學調控難度方面，全面貫徹“低起點，多層次，高落差”策略，部分試題設計科學，起點低，入口寬，面向全體學生，考查基礎知識，個別試題對考生的思維能力有較高的要求，要求學生具備解決復雜問題的綜合素養.這些特點和趨勢為我們在“三新”背景下，關注新教材教學，科學平穩過渡新高考提供了極有價值的信息.