數學師范生數學核心素養模型建構與發展路徑研究

摘 要：關注數學師范生的數學核心素養，就是關注“數學教師教育要培養什么樣的人”的根本教育問題。為解決這一問題，本研究以扎根理論為方法論指導，對14位大學數學教師進行深度訪談，利用MAXQDA20軟件對訪談資料進行整理、編碼和統計分析，構建起數學師范生數學核心素養模型。該模型包括數學核心知識、數學關鍵能力和數學價值觀念3個核心要素，以及數學學科知識、數學教學知識、數學學科能力、數學教學能力、數學信念、數學價值觀6個子要素。高師院校應將發展數學核心素養作為數學人才培養的根本目標，發展路徑包括：基于數學教學知識理論開發素養為本的整合課程、基于協同創新理論建立導向素養發展的教學方式、基于設計思維理論形成促進素養轉化的學習過程。

關鍵詞：數學專業；核心素養；師范生；模型構建

中圖分類號：G650 文獻標識碼：A 文章編號：2095-5995（2024）01-0028-11

興國必先強師。作為未來教師的后備力量，師范生任重道遠，理應為國家教育事業做出垂范［1］。2014年，我國頒布《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，明確提出構建“各學段學生發展核心素養體系”。2015年起，21世紀核心素養開始扎根于我國的教育熱土，基于核心素養的標準、課程、教學和評價等研究如雨后春筍躍升而出。特別地，基礎教育階段學科核心素養體系已經建成，成為學習內容組織、教與學方式和評價設計的基準。雖然富有創造性的教育改革的設想來自許多方面，但是，只有教師才能提供來自于課堂本身深刻的、有直接經驗的洞察力［2］，教師才是教育改革成敗的關鍵，教師專業水平的高低直接決定教育質量的優劣。由此，為回應素養時代的召喚，響應國家提出的“用優秀的人去培養更優秀的人”的偉大號召，研究教師乃至師范生的核心素養顯得尤為重要。

關注數學師范生的數學核心素養，就是關注新師范愿景下“數學教師教育要培養什么樣的人”這一根本的教育問題。扎爾曼（Zalman， U.）曾指出，直到未來一代教師在學習數學時關注核心素養，核心素養才可能成為學校的主流［3］。換句話說，在大學層級上關心核心素養對中小學生培養有重要作用，原因很簡單，大學教育影響著未來中小學數學教師的核心素養［4］。那么，數學師范生應擁有怎樣的數學核心素養？如何構建數學核心素養模型？模型應包含哪些要素？數學師范生怎樣發展數學核心素養？目前，解決這些問題都還缺乏一定的研究基礎，本研究將做一探討：以高師院校數學教師為研究對象，通過深度訪談收集資料，以扎根理論為方法論指導，歸納提煉、建構和釋義數學師范生數學核心素養模型；提出發展數學師范生數學核心素養的若干路徑。以期為高師院校的師范人才培養定位、課程建設與教學改革提供可參照的理論框架，在規范和引領數學師范生素養發展上發揮借鑒作用。

一、理論概述

（一）詞源分析：數學核心素養內涵本質的透視

在我國數學教育發展歷程中，21世紀以前提的比較多的是“數學能力”“數學素質”“數學雙基”等。20世紀70年代“數學素養”作為新名詞出現在國內文獻中，1992年其被首次寫入全日制初級中學數學教學大綱，并一直沿用至今。2014年后，“數學核心素養”成為教育領域的新熱點。何謂數學核心素養？有研究從核心素養推演界定數學核心素養，如數學核心素養是數學學習者在學習數學或學習數學某一個領域所應達成的綜合性能力［5］。也有研究認為數學核心素養不應被看成一個全新的概念［6］，對數學核心素養的討論離不開數學素養，研究數學核心素養，就是明確哪些數學素養對學生的終身發展是最為關鍵和必要的［7］，即最關鍵、最重要且可以衍生其他數學素養的可被稱為“數學核心素養”［8］?；诘诙N研究視角，我們有必要對數學素養加以溯源。

1959年，英國發表題為“15—18歲青少年的教育”的克勞瑟報告（Crowther Report），首次提出數學素養（Numeracy）。由于西方國家用詞習慣不同，與數學素養對應的英文詞條還有Quantitative Literacy（簡稱QL）、Mathematical Literacy（簡稱ML）。在以往文獻中，QL、ML、Numeracy經常交換使用［9］。從數學素養概念演變來看，一方面，數學素養是從素養范疇中發展形成的一個專門領域，如同文化素養、科學素養、信息素養等；另一方面，QL、ML繼Numeracy之后陸續產生，前兩者是后者的擴展集，后者指向數量［10］，前兩者傾向于被看作更全面的概念［11］。具體而言，Numeracy和QL是在簡單背景中有效處理數字信息的自覺自為，ML是一種精細的、長期的教育愿景，包括對數學及其應用的洞察力［12］。換句話說，QL是所有公民的非?；镜臄祵W技能，ML與學校數學教育結果相聯系，是所有期望獲得更高等教育和在信息時代從事工作的人的需要［13］。 ML作為數學課程的教育目標已有半個多世紀，而且很多世界性組織、國家或地區都將數學素養作為學生核心素養指標體系的一級指標［14］。在ML的眾多定義中，國際學生評價項目PISA（Programme for International Student Assessment）的較有代表性：數學素養是個體確定并理解數學在這個世界中所起作用的能力，能夠作出有根據的數學判斷和從事數學活動的能力，以符合個體在當前和未來生活中作為有創新精神、關心他人和有思想之公民的需要［15］。

（二）特征描述：具備數學核心素養的人的研究

國外研究大致通過兩種方式揭示數學素養的內涵，一是直接下定義，研究者們從不同的視角來界定數學素養的內涵，大致可歸納出四種觀念類型：“特定區域和背景”說、“數學內容”說、“數學過程”說、“綜合性詮釋”，而將“背景、過程和內容”三條主線有機結合起來的“綜合性”詮釋是界定數學素養內涵的主流方式［16］。二是用對具備數學素養的人的描述來間接地解釋這一概念。例如，數學素養意味著一個人能夠在真實背景中推理、分析、明確表達、解決問題；有數學素養的個體是見多識廣的公民，他們有能力解釋和分析大量隱含在平日報紙、電視和互聯網中的信息［17］。一個具備數學素養的人需要擁有數學的功能性知識、數學推理能力，認識數學的社會影響和效用，理解數學的本質和歷史發展，對數學有積極態度［18］。又如，為成人生活和公民身份做準備的數學素養是：一般的認知能力、推理和思考、學科專有語言，思維或情感習慣，信息交流技術［19］。擁有數學素養的公民有用數學的眼光觀察世界的預感性……在仔細評估的基礎上有信心處理復雜問題，這里的數學素養包括：對數學的自信，文化欣賞，解釋數據，邏輯思考，決策，數感，實踐技能，必備的知識，符號感［20］。一言以蔽之，除非你懂得數學、除非你能將數學應用在實際情境或者能夠處理與數學有關的情況，否則你不能稱為有數學素養的［21］。

針對數學職前和職后教師的素養問題，我國大抵有兩種研究思路。其一，專門聚焦數學素養，這類研究凸顯出數學學科特性。如段志貴從數學的認識、數學的意識、數學思想方法的理解與掌握、數學史的明了、數學美的感悟以及數學語言的運用六個方面揭示數學師范生的數學素養構成［22］。葉志強等用數學知識、數學思維、數學能力、數學情意四部分刻畫職前小學數學教師數學素養［23］。方勤華將數學教師專業素養界定為教師實施高質量數學教學需要具備的數學素養，即數學知識、數學能力和數學情意的綜合統一體［24］。其二，把國內外制定的教師專業標準或者教師專業素養研究成果作為數學核心素養的演繹框架，以此彰顯教師職業特征。如，高職院校數學教師核心素養由專業知識、專業能力和專業品性三個一階因素構成［25］，中學數學教師的核心素養是指教師在高尚師德素養和精深教育數學素養協同作用下所形成的教師育人和數學樹人的專業素養［26］。

綜上所述，數學核心素養產生于數學素養和核心素養兩條研究脈絡的交匯處。本研究在構建數學師范生的數學核心素養模型時，既會站在核心素養視域下考慮數學師范生的培養定位，也會基于數學素養的本質考慮數學的特質。也就是說，本研究要立足兩個出發點：第一，數學核心素養應具有鮮明的“學科性”，是數學學科特有的，其他學科的學習無法替代；二是要具有一定的“師范性”，即考慮教師職業的專業特性，這是高師院校師范人才培育的基本要求。但是，師范性并不意味著一般意義上教育理論知識和師范技能，而是關注由“數學—教學法”融通轉化而得的數學教學素養以及為師為范的數學情感。

二、研究設計

（一）訪談對象

飽和是判斷質性研究質量、說明樣本量合理性的重要標準。當在數據收集的過程中發現新收集的數據與已有數據有重復且顯得“多余”時，或者數據分析中不再涌現新編碼或新主題，即可算作達到飽和狀態。大部分情況下，質性研究達到飽和的樣本范圍為6至25之間［27］。本研究以數據飽和（Data Saturation）作為標準，在信息冗余時停止收集數據，最終訪談樣本量是14個。訪談對象都是高師院校數學教師，主要從事基礎數學、應用數學和數學教育的教學和科研工作，少數教師同時承擔教學管理工作，大部分教師都同時為學科教學（數學）碩士生導師樣本相對同質（詳見表1，以訪談先后順序排列）。

（二）訪談設計與過程

本研究采用半結構訪談方式，即按照訪談提綱或談話主題進行，訪談者對訪談結構有一定的控制，但也會留下彈性空間，供受訪者積極參與、表達觀點。訪談圍繞以下提綱進行：您認為，數學師范生應該具備哪些數學核心素養？為什么？每次面對面交流時間約為60分鐘，對訪談進行全程錄音。每次訪談結束后，立即將錄音內容經機器和人工轉錄為文字。文字文本通過電子郵件被反饋給相應的受訪者，請他們修改或剔除與他們原話或原意不符的內容，避免遺漏、曲解、錯誤等現象發生。所有專家都對轉錄文字進行核查、完善，使得語言更加流暢、觀點更加清晰。當所有回訪工作結束后，立刻對訪談資料進行整理歸類。

（三）數據處理與分析

待所有訪談錄音資料經研究者逐字逐句地轉錄和受訪者檢核后，將轉錄文本導入質性資料分析軟件MAXQDA 20進行編碼（Coding）。編碼是扎根理論最關鍵的環節，是給予原始經驗資料以抽象化類別、主題或者概念的過程。一般包括三級編碼：第一級開放編碼、第二級主軸編碼、第三級核心編碼［28］。

1.開放編碼

在一級編碼時，研究者應該采取一種主動“投降”的態度，這意味著研究者要把有關的前設和價值判斷暫時懸置起來，讓資料自己說話。研究者只有徹底敞開自己的胸懷，騰出一定的空間，才能讓資料進到自己的心中［29］。研究者從這些原始資料中透視受訪者的語義，將受訪者的語義“登錄”到自身的意識之中。在資料分析中，登錄是最基本的一項工作，是將收集的資料打散，賦予概念和意義，然后再以新的方式重新組合的操作化過程。經過兩次一級編碼處理，對原始資料進行概念化，最終得到46個一級編碼（如表2）。

2.主軸編碼

建立一級編碼之間的關聯，發展類屬概念是二級編碼的主要任務。在建構生成二級編碼的過程中，應不斷思考以下問題：這些資料是有關什么的研究？這些資料說明了什么？是誰的觀點？可以歸結為哪些類屬？［30］例如，從被訪者的觀點中可以提煉出“邏輯推理”“歸納猜想”“直覺洞察”開放編碼，它們是數學推理的兩方面：演繹推理和合情推理，因而這些類屬被歸并為“數學推理能力”。此外，關聯后的類屬之間應該是相對獨立的。數學推理能力和抽象思維能力、空間想象能力、運算求解能力等都屬于數學思維能力，而數學思維能力和數學應用能力又是數學學科特有的關鍵能力。因而，最終抽取出的二級編碼是“數學學科能力”。依此思路，形成7個二級編碼（如表3）。

3.核心編碼

三級編碼是選擇具有統領性的，能夠將最大多數的概念類屬囊括在內的核心類屬，以此將所有類屬串聯起來。選擇核心類屬的同時，要進行理論分析，把概念化尚未發展完備的下屬類屬補充完整。這是一個從原始資料發展出具有概括性的理論結構的過程，所以，也稱為理論編碼。在核心編碼階段，研究者應經常問：這個（些）概念類屬可以在什么概括層面上屬于一個更大的社會分析類屬？在這些概念類屬中是否可以概括出一個比較重要的核心？我如何將這些概念類屬串起來，組成一個系統的理論構架？［31］在二級編碼的基礎上，提煉出3個核心類屬。表4為核心類屬與其關聯的范疇。

三、模型建構與釋義

（一）數學師范生數學核心素養模型的理論構建

扎根理論的研究最終會走向建構理論的階段，理論建構是有價值取向的，理論的產生要依賴于研究者本身的立場和觀點［32］。研究發現，受訪者對數學師范生數學核心素養的理解是合理、豐富和系統的，其中不乏鮮明、獨特的見解。如，“數學是自成體系的，是在最廣泛的人類承認的公理上，用邏輯架構起的一套系統，有它獨特的個性、美感。師范生在大學要學習對日后教數學有用的東西，最主要的不是教書的技巧與口才，而是對數學的基礎理論、核心內容、數學的內涵和特征以至數學的整個體系有最深刻的理解，要知道數學是什么。每一門高等數學可以說是相應的初等數學的補充和發展，師范生要能夠高屋建瓴地看到初等數學。（L）”“數學教學技能是指在有了基本數學知識、數學思想的前提下，把相關的數學知識和思想方法傳達給學生并使其固化為學生自己的思想的一種合適的方式。（D）”這些觀點與本研究的基本立場不謀而合，也就是說數學核心素養模型應指向“數學”學科自身。盡管模型中“數學教學知識”“數學教學能力”“數學教學觀”和“數學學習觀”都體現一定的“師范性”，但是它們的價值在于使得“學術數學”變為“教育數學”，終究都指向數學的深層理解。具體來說，比如，沃特金斯（Watkins， D.A.）和比格斯（Biggs， J.B.）通過對中國學習者的分析，提出教師的信念系統由數學學習觀、數學觀和教學觀構成［33］。對“數學教學是什么、數學學習是什么”的認知一部分建立在教育學、心理學以及教學法知識之上，但是本研究更關注受合理“數學觀”支配的“數學學習觀”和“數學教學觀”。同樣，“數學教學能力”也可以分解為與數學本身緊密結合的知能和一般性教學技能，后者將不在考慮之列。

此外，戈爾?。℅oldin， G. A.）和德白理斯（DeBellis， V. A.）提出情感領域的四面體模型：情緒、信念、態度和價值觀代表一個四面體的四個頂點，四者彼此聯結、相互作用［34］。雖然受訪者認為，師范生“應具有勇于探索的素質，為了成功，不怕挫折，不怕失敗的精神（B）”“要能自我欣賞（F）”“需要堅強的意志品質（M）”，但是關于學習數學的動機和態度，對非數學專業的學生來說，它們通常與學習內容的難易關聯較大而跟“數學”這一特定學科本身并無直接的關聯。對數學專業的學生而言，學習興趣和意志更多地取決于學生對數學的本質和價值的認識以及對數學美、數學理性的崇尚。這樣的觀點在某位受訪者的話語中可見一斑，“數學使人精密、使人深刻、使人聰慧，數學學習總是在艱苦探索，總是在追求創新。人們就是通過這種艱苦的探索，提高追求真理的素質。師范生應通過數學學習培養這樣的素質，這就是數學能夠賦予的一種理性的思維模式（L）”。因而，情緒和態度中包含的情感成分遠大于認知成分，不具有較強的穩定性，尤其沒有學科特性。本研究著眼的是更為深入的數學觀、數學價值觀，數學審美情感、理性精神，而不泛泛地談興趣、自信心等“態度”。

從梳理提煉的各級編碼中舍去“態度”及其下屬編碼，構建起數學師范生數學核心素養模型（如圖1）。該模型主要源于大學數學教師的專業學識和教學實踐經驗，利用相關理論加以要素抽取、概括和精細化，體現扎根理論的方法路徑。需要注意的是：（1）核心知識、關鍵能力、價值觀念是模型的三個核心要素，雖然受訪者提及各要素的頻次不一樣（如表4），但三者地位同等重要。（2）核心要素有著自身的結構和發展規律，相對獨立又相互關聯，具有動態轉化關系（圖中用雙向箭頭代表），共同構成耦合、循環的系統，指向數學核心素養發展，體現模型的“系統性”。綜上，本研究認為，數學師范生數學核心素養是指在數學經驗積累的基礎上，生成并外顯出來的可用于指導數學教學活動的一種關鍵的思想和行為特征，是數學核心知識、數學關鍵能力和數學價值觀念的綜合表現。

（二）數學師范生數學核心素養模型要素的意涵

1.數學學科知識和數學教學知識

研究者們普遍認為，教師需要的最重要的知識是：學科知識（Subject Matter Knowledge， 簡稱SMK）和能向學生有效表征SMK的學科教學知識（Pedagogical Content Knowledge， 簡稱PCK）。在舒爾曼（Shulman， L.）的教師知識分類中，SMK包括內容知識、實質結構知識、章法結構知識和學科的信念，PCK是學科知識與一般教學法知識的特殊混合物，是教師專業理解的一種特殊形式［35］，是教師在面對特定主題，針對學生的不同興趣與能力，將學科知識組織、調整，并進行教學的知識［36］。由頻數統計可見，核心知識素養獲得受訪者普遍關注，被分為數學學科知識和數學教學知識兩部分。其中，數學學科知識由數學內容知識、數學思想方法、數學結構知識、數學觀知識組成。也就是說，“一名合格的數學師范生首先應有扎實的基礎知識，基礎知識包括概念、定理和思維方法，而且要通過基礎知識的學習去認清整個知識體系，要充分地認識到大學的知識體系對中學是有用的。（K）”數學內容知識是數學學科知識的根基，是高等和初等數學課程中的核心概念、定理等知識的本質及其產生的背景，背景知識作為理解知識本質的必要條件，可以拓寬到數學史和數學文化的層面。數學思想方法內蘊于數學內容知識，是建立數學、發展數學和應用數學解決問題的指導思想及其具體化后的方式、手段和途徑。數學結構知識是對數學內容知識組織化的結果，也包括不同數學分支賴以形成發展并據此建立彼此聯系的數學形式結構（如代數結構、序結構、拓撲結構）。數學觀知識是有關“數學是什么”的知識，比如歐尼斯特（Ernest， P.）將教師數學觀大致分為3種類型：動態的、易謬主義的數學觀，靜態的、絕對主義的數學觀，工具主義的數學觀［37］，理解這些知識有助于形成合理的數學信念。數學思想方法、數學結構知識和數學觀知識都生長于數學內容知識，而且三者之間也互為聯系。比方說，數學思想方法是數學知識結構中不可缺少的元素，蘊含著一種數學觀——“數學承載著思想，是解決問題的方法論”，同樣地，數學結構知識也反映了“數學是研究抽象結構的理論”的觀點。

有人說過，沒有一種數學思想，以它被發現時的那個樣子公開發表出來。一個問題被解決后，相應地發展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發明變成冰冷的美麗［38］。中小學數學核心概念、性質、法則、公式等數學知識及其蘊含的數學思想方法是按照一定的邏輯順序排列在教科書當中，數學教師的任務就是返璞歸真，把形式化的數學還原出火熱思考，回到數學原始的樸素的思想狀態?！皫煼渡赡馨迅叩葦祵W和中學數學都學的很好，可是對‘怎樣把這些知識轉化為教的知識，所學的知識教出來應該是怎樣的認識不夠。比如，函數知識很簡單，但要知道教函數需要什么知識，如背景和函數應用。（C）”這意味著，數學師范生應發展數學教學知識——對學術數學進行理論上的再創造之后而得到一種教育數學，具體行為表現為：能基于中（?。W數學課程標準的理念和要求以及教材的編寫意圖進行教學，以便確保教學的準確性；能將中（?。W數學教材上的數學知識序列適當調整、重新組合或改造后再進行教學，以便幫助中（?。W生發現數學內在聯結、建構知識體系；能將中（?。W數學教材上的數學知識的本質、思想、方法或歷史文化厘定出來再進行教學，以便幫助中（?。W生更好地理解數學。

2.數學學科能力和數學教學能力

能力是在習得與運用知識的過程中形成和發展起來的，是順利完成認知活動需具備的而且直接影響活動效率的一種個性心理特征。在頻數統計中，關鍵能力素養是受訪者提到最多的，包括數學學科能力和數學教學能力。數學學科能力涵蓋數學思維能力和數學應用能力。數學思維能力在理性思維中發揮著獨特的作用。人們在學習數學和運用數學解決問題時，不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與構建等思維過程。這些過程是數學思維能力的具體體現，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和做出判斷［39］。值得一提的是，受訪者非常關注數學思維中的“非邏輯”成分，認為“數學人很在乎邏輯，但一些創造性的東西是需要感性認識的，它來源于豐富的想象，這種想象來自于合情推理。（M）”數學應用能力是一種綜合能力，離不開數學思維，是數學核心素養最為重視的。數學應用到底在“用”數學的什么，這是由數學的本質即數學“是什么”決定的［40］。從數學是“一種語言”“一個思維的實驗過程”“一類模型、一種模式”的角度出發，本研究指涉的數學應用能力包括“四能”：數學地發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，“四會”：會用數學語言表述的能力和交流的能力，會用數學符號、工具建模的能力和實驗的能力?！八哪堋笔菙祵W應用能力的核心，數學建模和實驗也不斷地伴隨著發現、提出、分析和解決問題的完整過程。如果說“四能”突出的是一種處理“數學情境”問題的能力，那么建模和實驗更為強調的是“現實情境”。數學表述和數學交流是一種語言活動，是“出聲地思維”，可以說是數學思維的書面化或口頭化。這種語言活動始終滲透在處理數學問題和數學教學問題的過程中。

數學教學能力是師范生通過長期浸潤在多樣化實踐場域中，經歷運用數學教學知識解決模擬或真實教學任務后，生成的穩定的心理特點。數學教學能力涵括數學教材的分析和處理能力，數學教學設計能力，數學教學實施能力（包括數學概念、原理、問題解決和活動四類重要課型的教學）和數學教學評價能力。事實上，教材分析屬于教學設計的一部分，鑒于教材處理能力受到不少受訪者關注，所以將其單獨析取出來?！皫煼渡獙滩牡恼w結構、體系、目的、難點、重點、教學的量（例題量、作業量）、考試要求等有一個通盤的、綜合性的、系統的了解（F）”“教材怎么處理，概念怎么引入、怎么展開，定理證明、應用方法以及習題怎么處理，都是要清楚的。拿到一本教材，有教學經驗的老師處理手法、觀點視角完全不一樣，每一個地方都有很出彩的東西，加入很多創造性的東西。（A）”雖然數學概念等基本課型和評價設計都有教學理論規律和基本技法可循，但是最根本的還是對數學學科知識的精深理解和個性化創造。例如，在教學“配方法”時，可以采取“例子—原理”或“原理—例子”兩種教學模式設計教學過程。但是，找到初中方程學習的統一路徑，類比“消元”與“降次”思想，建立方程、平方根、開平方運算、完全平方式等知識之間的聯結，才是這節課的教學根本。當數學師范生能夠讀懂教材，才會個性化處理教材——大膽舍棄教材中的現實問題情境，對教學內容進行結構化整合，從數學內部本身創設情境?？傊?，“數學有內在規律，數學教與學的過程比較經典，是一個教學思維的過程，不需要太多花哨的東西，最重要的是數學教師對數學要有很好的理解，又懂得把理解到的講清楚給學生聽。相對于外在表現，怎么啟發學生思維更加重要。（I）”

3.數學信念和數學價值觀

情感伴隨人的一生，也不可避免地伴隨著人的學習過程。在本研究中，數學信念指數學觀、數學教學觀和學習觀，這個系統決定教師的教學方式，學生的學習觀、學習方式以及學習結果［41］。數學價值觀是指在擁有合理的數學信念的基礎上，對數學的科學價值、文化價值、應用價值和審美價值等的判斷和認識?！敖處煵粌H要教學生課本知識，還要告知他真正的數學是什么，將來用來解決什么問題。即便課堂上不用講這么多，但是教師至少要清楚，這會影響自己教學方式和學生的學習。這就是為什么中學老師上大學，接受抽象數學教育的原因。（B）”事實上，每一種數學教學觀、學習觀和價值觀都與某種數學觀有著深層次的對應關系，如果數學觀不合理，或者不完善，那么就不可能站在比較寬廣的視閾之下審視數學的教學、學習和價值問題。比方說，“數學是一種科學語言”是對數學本質的“語言觀”詮釋，數學借助它的語言特征向人類傳播思想，構筑精神文化，這從一個側面反映出數學具有文化價值。而當教師將數學視為科學的語言，那么就會重視學生的數學表達、引導學生感悟數學語言的簡潔美。又如，持有“數學是一門技術和工具”觀念的教師可能更多地看見數學的應用價值，但是如果僅把數學當作解題工具，看不到數學更豐富的價值，不得不說是教學的一個缺失。再如，倘若教師了解數學發展史中出現的悖論及其引發的危機，認可“數學是可誤的且可糾正的理論”，那么就會珍視學生的錯誤，甚至將“糾錯課”“錯中學”視為很有意義的教與學方式，而這樣的教學也在傳遞一種精神、一種理性的精神。很顯然，教師所持有的數學觀點與在課堂教授中數學講述的方法密切相關?！皵祵W不只是一些抽象的符號和公式的匯集，而是一門充滿人文精神的科學，形成了社會的一種特殊的文化形態。數學對于學生的世界觀，思維方式以及精神世界的養成具有十分重要的影響。（L）”傳遞給兒童們的關于數學及其性質的細微信息，就會對他們今后去認識數學以及數學在他們的生活閱歷中的作用產生影響［42］。

觀念的更新與知識的更新（包括方法論方面的學習）相比如果說不是更為重要，至少也是同樣重要的［43］。理性、情感和意志都是在觀念（指教學中提供給學生的所有知識）基礎上形成的，只有掌握一定的系統知識，才能形成道德概念和行為［44］。例如，二次函數y=ax2+bx+c可以將許多數學現象簡潔地融于一身，萊布尼茲用∫f（x）dx簡潔符號表達了積分概念的豐富思想，刻畫出“人類精神的最高勝利”，只有深刻理解數學知識，才有可能體會到數學美的存在。又如，為感悟數學的理性精神、文化價值，對數學歷史的了解必不可少。通過追溯數學發展史可以發現，正是偉大的數學家們在理性精神的驅動之下對數學真理孜孜不倦地追求，數學三次危機才能被解決，數學科學才能不斷進步，并為人類社會、科學、文化帶來巨大的價值。因此，數學信念和數學價值觀的形成離不開數學知識的土壤，它們彼此相互砥礪、協調發展。

四、發展路徑探索

高師院校應將數學核心素養培育作為數學教師教育的根本目標，建議以模型為參照，系統推進課程與教學變革。

（一）基于數學教學知識理論開發素養為本的整合課程

數學教學知識（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，簡稱MPCK）是一個由數學學科知識、教學知識、學習者以及情境有機整合，用以表征學習者難以理解的數學內容的知識體系，是數學知識素養中的各要素融通轉化而成。那么，數學學科知識、一般教學知識、技術知識和實踐情境知識等都是MPCK得以轉化生成的知識基礎，開設傳播這些知識的課程，也就能夠指向發展數學核心素養的具體目標。當然，我們不能僥幸地認為，某一類知識基礎（如數學學科知識、教學知識或技術知識）的增長都會自發引起MPCK的增長。MPCK的發展過程是教師不斷整合和應用多種知識的過程。因而，增設體現這些知識有效整合的教師教育課程，促使師范生將各類知識有效聯結，才有可能生成MPCK這種獨特的化合物，才能促進數學核心素養的發展。西方教師教育研究領域對此做出積極探討，學者們專門撰寫了相應的教材，如《小學數學學科教育學知識：為教師提供的有力觀點》，分別對數系、算術、幾何、部分與整體、小數、測量、數據分析、可能性、比率與比例、推理、代數等的MPCK知識進行厘清［45］。我國高師院校沒有開設專門培養MPCK的課程。數學教學論、中學數學教學設計等雖然具有發展MPCK的功能，但是大多數課程僅停留在理論和教法的授導層面。在加強已有課程建設的同時，應將數學學科專業類課程、數學教材研究和教學理論類課程、數學教育實踐類課程相互交融轉化，生成“素養導向”的數學教師教育課程，如高觀點下的初等數學教學研究、中學數學教材分析與教學知識轉化實踐、數學文化教與學、數學跨學科主題學習等。

（二）基于協同創新理論建立導向素養發展的教學方式

目前，教師教育課程存在三方面困境：師范生完全在去情境化的課堂環境中模擬教學、教師教育者往往缺乏完備的中小學學科教學素養、教學法課程內容與基礎教育脫節，這些無疑對師范生實踐性知識和教學智慧生成以及創造型學習都提出了嚴峻挑戰?？瓶藗悾–ochran， K.F.）等指出，教育學專家、學科專家和經驗豐富的一線教師必須合作開展教師教育課程的教學［46］。因為，協作教學可以改善教師教育，為職前學生提供向不同背景的教師學習，并體驗一種聚焦教學實踐核心的合作形式的機會［47］。協同創新（Collaborative Innovation）思想主要源自于管理學和經濟學的研究，目前已經廣泛用于教育領域，是指“由自我激勵的人員所組成的網絡小組形成集體愿景，借助網絡交流思路、信息及工作狀況，合作實現共同的目標?！保?8］基于協同創新思想，數學教師教育者、數學師范生和中小學數學教師可以深度合作，建立“U-S雙師”［49］教學方式——中小學參與師范大學人才培養、教師教育者支持中小學教師專業發展，雙師協同開發課程、共同執教，從而實現學術知識和經驗知識整合應用和價值互化，促進教學改革創新，讓師范生獲得強有力的理論學習和實踐指導。比如，大學數學教師和中學名師共同承擔高觀點下的初等數學教學研究，幫助數學師范生建立結構化知識體系、發展數學應用能力。大學數學教師和數學教學法教師一起建設數學思想方法和數學文化類課程，厘定“大中小學”數學知識中一脈相承的思想和文化，讓數學師范生形成發明數學、改進數學和應用數學解決問題的思想體系，發展數學思維能力，形成合理的數學觀。數學教學法教師和中小學數學名師可以共同主持數學實踐類課程，幫助數學師范生夯實初等數學知識體系，獲得MPCK。

（三）基于設計思維理論形成促進素養轉化的學習過程

設計思維（design thingking），即像設計師一樣思考，對不存在的事物進行規劃和想象，找出富有創意的想法［50］。設計思維有一套系統的方法體系，強調設計與思維相依的雙螺旋關系，具有生成性和創造性雙重屬性，并關注學習制品（artifacts）的生成［51］。近年來，研究者們嘗試將設計思維融入某一類型的課程或主題教學設計中，有研究指出學習者運用設計思維方法解決問題的過程及優秀設計思維者培養的過程即是創客思維和21世紀核心技能養成的過程［50］。設計思維何以作用于數學核心素養的發展？設計思維與數學核心素養都根植于問題解決。發展數學核心素養意味著強調以“問題解決”為中心的自主探索、合作交流和創新設計學習過程，在參與行動中，師范生的數學核心素養伴隨對數學內容本質的理解而生成和積累。設計思維支持下的學習活動以解決劣構問題為導向，設計者通過許多情境練習來理解如何從處理某種事物中產生意義建構。作為創造性解決問題的手段，設計思維直接、動態地聯系著思維和行動。所以，數學核心素養發展與設計思維過程都蘊含著共同的內在思想——“問題”“設計”和“創造”，兩者在目標和路徑上完全契合。例如，在數學建?；驍祵W實驗課程中，師范生要綜合數學學科知識對問題進行解決方案設計，用實驗探索規律，進而建模和驗證，發展數學思維和應用能力。又如，在教師教育類課程學習中，數學師范生面對設計一門校本課程、一節中學數學課或者一份小學數學作業的學習任務，需要調動已有的中小學數學、數學課程論以及教學論等知識，將它們轉化遷移到不同情境的問題域，在數學問題探究和數學教學實踐中生成新的知識和能力?！袄斫狻w移—創新”恰好體現數學核心素養生成的主體性活動過程，也是數學師范生作為設計者綜合運用所學知識，解決挑戰性問題，學會共情、思考、創想、修正制品的學習過程。

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Research on theModel Construction and Development Path of Mathematical Core Literacy of Prospective Mathematics Teachers

Liu Zhe

Abstract：Paying attention to mathematical core literacy of prospective mathematics teachers is to pay attention to the fundamental educational problem of “what kind of people should be cultivated in mathematics teacher education”. In order to solve the problem， guided by grounded theory， 14 university mathematics teachers were interviewed in depth， and the interview data were sorted， coded and statistically analyzed by MAXQDA20 software， so as to construct the mathematical core literacy model of prospective mathematics teachers. This model includes three core elements： mathematical core knowledge， mathematical key ability， and mathematical opinion of value， as well as six sub elements： mathematical subject knowledge， mathematical pedagogical knowledge， mathematical subject ability， mathematical teaching ability， mathematical beliefs， and mathematical values. These elements reflect that mathematical core literacy of prospective mathematics teachers not only has a distinct “disciplinarity” and is unique to mathematics discipline， but also has a certain “pedagogical characteristics”， which reflects the professional characteristics of the teaching profession. Normal universities should regard the development of mathematical core literacy as the fundamental goal of cultivating mathematical talents， and the development path includes： developing literacy-oriented integrated curriculum based on mathematics pedagogical content knowledge theory， establishing teaching methods oriented to literacy development based on collaborative innovation theory， and forming a learning process promoting literacy transformation based on design thinking theory.

Keywords：mathematical core literacy；prospective mathematics teachers；model；development path;

基金項目：2023年廣東省教育科學規劃課題（高等教育專項）“設計思維視域下面向師范生跨學科教學設計能力發展的教學改革研究”（2023GXJK264）；2023年華南師范大學“本科教育教學數字化轉型”校級專項教改項目“數字化轉型賦能教師教育‘設計類課程高質量混合學習的行動研究”.

作者簡介：劉喆，女，安徽人，教育學博士，華南師范大學數學科學學院副研究員、碩士生導師，主要從事數學課程與教學論、教師教育等研究.